Номер 877, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 877, страница 219.

877 Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его высоты, опущенные из вершин $A$, $B$ и $C$, как $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Пусть $M_a$, $M_b$ и $M_c$ — середины этих высот. По условию задачи, точки $M_a$, $M_b$ и $M_c$ лежат на одной прямой.

Для доказательства воспользуемся несколькими известными теоремами из геометрии треугольника.

1. Теорема Фонтене. Существует теорема (одно из следствий теорем Фонтене), которая утверждает, что середины высот треугольника лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда описанная окружность треугольника и его окружность девяти точек касаются друг друга.

2. Свойства описанной окружности и окружности девяти точек.

• Пусть $O$ — центр описанной окружности, а $R$ — её радиус.
• Пусть $H$ — ортоцентр треугольника (точка пересечения высот).
• Окружность девяти точек (или окружность Эйлера) проходит через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами. Её центр $N$ является серединой отрезка $OH$, а её радиус $R_9$ равен половине радиуса описанной окружности, то есть $R_9 = R/2$.

3. Условие касания двух окружностей. Две окружности касаются, если расстояние между их центрами равно сумме или разности их радиусов. В нашем случае расстояние между центрами $O$ и $N$ равно $ON$. Таким образом, условие касания имеет вид:
$ON = R + R_9$ (внешнее касание) или $ON = |R - R_9|$ (внутреннее касание).

4. Применение условия касания.
Поскольку $N$ — середина $OH$, то $ON = \frac{1}{2}OH$. Подставим известные значения $R_9$ и $ON$:

• Для внешнего касания: $\frac{1}{2}OH = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$, что приводит к $OH = 3R$.
• Для внутреннего касания: $\frac{1}{2}OH = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$, что приводит к $OH = R$.

5. Теорема Эйлера о расстоянии между центрами. Расстояние между ортоцентром $H$ и центром описанной окружности $O$ определяется формулой Эйлера:
$OH^2 = R^2(1 - 8 \cos A \cos B \cos C)$, где $A, B, C$ — углы треугольника.

6. Анализ двух случаев.

• Случай 1: $OH = R$.
  Возводя в квадрат, получаем $OH^2 = R^2$. Подставляем в формулу Эйлера:
  $R^2 = R^2(1 - 8 \cos A \cos B \cos C)$
  Поскольку для невырожденного треугольника $R \ne 0$, мы можем разделить обе части на $R^2$:
  $1 = 1 - 8 \cos A \cos B \cos C$
  $8 \cos A \cos B \cos C = 0$
  Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда косинус одного из углов равен нулю. Например, если $\cos A = 0$, то угол $A = 90^\circ$. Следовательно, треугольник является прямоугольным.
• Случай 2: $OH = 3R$.
  Возводя в квадрат, получаем $OH^2 = 9R^2$. Подставляем в формулу Эйлера:
  $9R^2 = R^2(1 - 8 \cos A \cos B \cos C)$
  $9 = 1 - 8 \cos A \cos B \cos C$
  $8 = -8 \cos A \cos B \cos C$
  $\cos A \cos B \cos C = -1$
  Поскольку для любого угла $\alpha$ невырожденного треугольника ($0 < \alpha < 180^\circ$) выполняется неравенство $|\cos \alpha| \le 1$ (причем равенство достигается только для $\alpha=0$ или $\alpha=180^\circ$), произведение косинусов трех углов может быть равно $-1$ только если косинус каждого из углов по модулю равен 1. Это означает, что углы должны быть $0$ или $180^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника. Таким образом, этот случай не реализуется.

Таким образом, единственным возможным случаем для невырожденного треугольника, в котором середины его высот лежат на одной прямой, является тот, в котором треугольник — прямоугольный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Условие, что середины трех высот треугольника лежат на одной прямой, эквивалентно тому, что описанная окружность и окружность девяти точек этого треугольника касаются. Это, в свою очередь, возможно только если треугольник является прямоугольным.