Номер 872, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 872, страница 219.

872 Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон: $AB, BC, CD, DA$. Периметр четырёхугольника равен $P = AB + BC + CD + DA$.

Пусть $M, N, P, Q$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. По условию задачи, сумма расстояний между серединами противоположных сторон ($MP$ и $NQ$) равна половине периметра: $$MP + NQ = \frac{1}{2} P = \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$$

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введём векторы, соответствующие вершинам четырёхугольника: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. Тогда векторы, соответствующие серединам сторон, можно выразить следующим образом:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ (середина $M$ стороны $AB$),
$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ (середина $N$ стороны $BC$),
$\vec{p} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$ (середина $P$ стороны $CD$),
$\vec{q} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$ (середина $Q$ стороны $DA$).

Теперь найдём векторы, соединяющие середины противоположных сторон. Вектор $\vec{MP}$ равен разности векторов $\vec{p}$ и $\vec{m}$: $$\vec{MP} = \vec{p} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}((\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a})) = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})$$ Длина отрезка $MP$ равна модулю этого вектора: $MP = |\vec{MP}| = \frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}|$.

Аналогично, вектор $\vec{NQ}$ равен разности векторов $\vec{q}$ и $\vec{n}$: $$\vec{NQ} = \vec{q} - \vec{n} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}((\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{c})) = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{CD})$$ Длина отрезка $NQ$ равна модулю этого вектора: $NQ = |\vec{NQ}| = \frac{1}{2}|\vec{BA} + \vec{CD}|$.

Подставим полученные выражения для $MP$ и $NQ$ в исходное условие: $$\frac{1}{2}|\vec{BC} + \vec{AD}| + \frac{1}{2}|\vec{BA} + \vec{CD}| = \frac{1}{2}(|\vec{BC}| + |\vec{AD}| + |\vec{AB}| + |\vec{CD}|)$$ Умножив обе части на 2 и учитывая, что $|\vec{AB}| = |\vec{BA}|$ и $|\vec{AD}| = |\vec{DA}|$, получим: $$|\vec{BC} + \vec{AD}| + |\vec{BA} + \vec{CD}| = |\vec{BC}| + |\vec{AD}| + |\vec{BA}| + |\vec{CD}|$$

Воспользуемся неравенством треугольника для векторов. Для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ справедливо неравенство $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону).

Применим неравенство треугольника к слагаемым в левой части нашего равенства:
1. $|\vec{BC} + \vec{AD}| \le |\vec{BC}| + |\vec{AD}|$
2. $|\vec{BA} + \vec{CD}| \le |\vec{BA}| + |\vec{CD}|$

Сложив эти два неравенства, получим: $$|\vec{BC} + \vec{AD}| + |\vec{BA} + \vec{CD}| \le |\vec{BC}| + |\vec{AD}| + |\vec{BA}| + |\vec{CD}|$$

Из условия задачи известно, что это неравенство на самом деле является равенством. Сумма двух величин ($|\vec{BC} + \vec{AD}|$ и $|\vec{BA} + \vec{CD}|$) не превосходит суммы соответствующих пар модулей. Равенство возможно только в том случае, когда оба исходных неравенства обращаются в равенства:
1. $|\vec{BC} + \vec{AD}| = |\vec{BC}| + |\vec{AD}|$
2. $|\vec{BA} + \vec{CD}| = |\vec{BA}| + |\vec{CD}|$

Рассмотрим, что означает каждое из этих равенств.
Первое равенство означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Это значит, что сторона $BC$ параллельна стороне $AD$.
Второе равенство означает, что векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены. Это значит, что сторона $BA$ (или $AB$) параллельна стороне $CD$.

Таким образом, в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AD$ и $AB \parallel CD$). По определению, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.