Номер 863, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 863, страница 218.

Условие.

863 Точки Е и F лежат на стороне AB треугольника ABC, причём точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в точке K. Докажите, что точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 11.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$. Тогда $CM$ — медиана, проведённая к стороне $AB$. Нам необходимо доказать, что точка $K$ лежит на прямой $CM$, то есть что точки $C$, $K$ и $M$ коллинеарны.

Введём в рассмотрение несколько вспомогательных точек и линий. Пусть прямая, проходящая через точку $E$ параллельно стороне $AC$, пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Пусть прямая, проходящая через точку $F$ параллельно стороне $BC$, пересекает сторону $AC$ в точке $Q$.

По условию задачи, точка $K$ является точкой пересечения прямых $EP$ (так как $EK \parallel AC$) и $FQ$ (так как $FK \parallel BC$).

Рассмотрим четырёхугольник $CQKP$. В нём сторона $KQ$ (являющаяся частью прямой $EP$) параллельна стороне $CP$ (являющейся частью прямой $AC$), и сторона $KP$ (являющаяся частью прямой $FQ$) параллельна стороне $CQ$ (являющейся частью прямой $BC$). Ой, здесь ошибка в рассуждениях. Сторона $KP$ параллельна $CQ$, а $KQ$ параллельна $CP$. Давайте исправим:

• Прямая $KQ$ является частью прямой $EK$, которая по условию параллельна $AC$. Сторона $CP$ лежит на прямой $BC$. Эти стороны не параллельны.
• Прямая $KP$ является частью прямой $FK$, которая по условию параллельна $BC$. Сторона $CQ$ лежит на прямой $AC$. Эти стороны не параллельны.

Правильно будет так:Рассмотрим четырёхугольник $CQKP$. Его стороны лежат на прямых $AC, BC, EK, FK$. По построению, $KQ$ лежит на прямой $EK$ и $EK \parallel AC$, значит $KQ \parallel CQ$. Аналогично, $KP$ лежит на прямой $FK$ и $FK \parallel BC$, значит $KP \parallel CP$. Следовательно, четырёхугольник $CPKQ$ является параллелограммом.

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что диагональ $CK$ проходит через середину диагонали $PQ$.

Теперь установим связь между положением точек $P$ и $Q$ и условием $AE=BF$.

Так как $EP \parallel AC$, по теореме Фалеса для угла $B$ (или из подобия треугольников $\triangle BPE \sim \triangle BCA$) имеем:$ \frac{BP}{BC} = \frac{BE}{BA} $

Так как $FQ \parallel BC$, по теореме Фалеса для угла $A$ (или из подобия треугольников $\triangle AFQ \sim \triangle ABC$) имеем:$ \frac{AQ}{AC} = \frac{AF}{AB} $

Из условия $AE = BF$ следует, что $AF = AB - BF = AB - AE$. Таким образом, $AE+AF=AB$.Также $BE = AB - AE$. Подставим это в первое соотношение:$ \frac{BP}{BC} = \frac{AB - AE}{AB} = 1 - \frac{AE}{AB} $

Используя $AE = AB - AF$, получим $\frac{AE}{AB} = 1 - \frac{AF}{AB}$. Подставим это в выражение для $\frac{BP}{BC}$:$ \frac{BP}{BC} = 1 - (1 - \frac{AF}{AB}) = \frac{AF}{AB} $

Сравнивая это со вторым соотношением, получаем:$ \frac{BP}{BC} = \frac{AQ}{AC} $

Рассмотрим теперь отрезки $CP$ и $CQ$.$CP = BC - BP \Rightarrow \frac{CP}{BC} = 1 - \frac{BP}{BC}$$CQ = AC - AQ \Rightarrow \frac{CQ}{AC} = 1 - \frac{AQ}{AC}$

Поскольку $\frac{BP}{BC} = \frac{AQ}{AC}$, то и $1 - \frac{BP}{BC} = 1 - \frac{AQ}{AC}$, а значит:$ \frac{CP}{BC} = \frac{CQ}{AC} $

Это соотношение означает, что треугольник $\triangle CPQ$ подобен треугольнику $\triangle CBA$ (по двум сторонам и углу между ними, так как угол $C$ у них общий).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $C$ и коэффициентом $k = \frac{CP}{CB} = \frac{CQ}{CA}$. Эта гомотетия переводит $\triangle CBA$ в $\triangle CPQ$. При гомотетии медиана переходит в медиану. Медиана $CM$ треугольника $\triangle CBA$ переходит в медиану $CN$ треугольника $\triangle CPQ$ (где $N$ — середина стороны $PQ$). Это означает, что точки $C, M, N$ лежат на одной прямой.

Мы уже установили, что $CPKQ$ — параллелограмм. Его диагональ $CK$ проходит через середину диагонали $PQ$, то есть через точку $N$. Следовательно, точки $C, N, K$ также лежат на одной прямой.

Поскольку точки $C, M, N$ лежат на одной прямой и точки $C, N, K$ лежат на одной прямой, то все четыре точки $C, M, N, K$ лежат на одной и той же прямой.

Следовательно, точка $K$ лежит на медиане $CM$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $K$ лежит на медиане треугольника $ABC$, проведённой к стороне $AB$.