Номер 857, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 857, страница 217.

857 Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно, что MB = a, MC = b и MD = c. Найдите длину отрезка МА.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством точки внутри прямоугольника (теорема о точке в прямоугольнике), которое гласит, что сумма квадратов расстояний от любой точки в плоскости прямоугольника до его противоположных вершин одинакова. Для прямоугольника ABCD и точки M это свойство выражается формулой:

$MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$

Докажем это утверждение. Введем прямоугольную систему координат, поместив вершину A в начало координат, то есть A(0, 0). Пусть стороны прямоугольника лежат на осях координат. Тогда вершины будут иметь следующие координаты: B(w, 0), D(0, h) и C(w, h), где w и h — ширина и высота прямоугольника. Пусть точка M имеет произвольные координаты (x, y).

Используя формулу для квадрата расстояния между двумя точками, найдем квадраты длин отрезков, соединяющих точку M с вершинами:

$MA^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

$MB^2 = (x - w)^2 + (y - 0)^2 = (x - w)^2 + y^2$

$MC^2 = (x - w)^2 + (y - h)^2$

$MD^2 = (x - 0)^2 + (y - h)^2 = x^2 + (y - h)^2$

Теперь сложим квадраты расстояний до пар противоположных вершин:

$MA^2 + MC^2 = (x^2 + y^2) + ((x - w)^2 + (y - h)^2)$

$MB^2 + MD^2 = ((x - w)^2 + y^2) + (x^2 + (y - h)^2)$

Правые части обоих выражений состоят из одних и тех же слагаемых, а значит, они равны. Таким образом, мы доказали, что $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$.

Теперь применим эту формулу для решения задачи. Согласно условию, нам даны длины отрезков: $MB = a$, $MC = b$ и $MD = c$. Требуется найти длину отрезка MA. Обозначим искомую длину как x, то есть $MA = x$.

Подставим известные значения в доказанное нами равенство:

$x^2 + b^2 = a^2 + c^2$

Выразим из этого уравнения $x^2$:

$x^2 = a^2 + c^2 - b^2$

Поскольку длина отрезка является неотрицательной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$x = \sqrt{a^2 + c^2 - b^2}$

Следовательно, искомая длина отрезка MA равна $\sqrt{a^2 + c^2 - b^2}$.

Ответ: $\sqrt{a^2 + c^2 - b^2}$