Номер 850, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 850, страница 216.

850 Сторона AB параллелограмма ABCD продолжена за точку В на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и KB пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕОK равны.

Для доказательства равенства площадей четырехугольников ABOD и CEOK мы воспользуемся методом сложения и вычитания площадей.

Обозначим площади искомых четырехугольников как $S_{ABOD}$ и $S_{CEOK}$.

Шаг 1: Установление равенства площадей двух ключевых треугольников.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению, его противоположные стороны параллельны:

• $AB \parallel DC$. Поскольку точка $E$ лежит на продолжении стороны $AB$, то прямая $AE$ параллельна прямой $DC$ ($AE \parallel DC$).
• $AD \parallel BC$. Поскольку точка $K$ лежит на продолжении стороны $AD$, то прямая $AK$ параллельна прямой $BC$ ($AK \parallel BC$).

Теперь воспользуемся свойством площадей треугольников: если два треугольника имеют общее основание, а их третьи вершины лежат на прямой, параллельной основанию, то площади этих треугольников равны.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle EDC$. У них общее основание $DC$, а вершины $A$ и $E$ лежат на прямой $AE$, которая параллельна основанию $DC$. Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ADC} = S_{\triangle EDC}$.
2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KBC$. У них общее основание $BC$, а вершины $A$ и $K$ лежат на прямой $AK$, которая параллельна основанию $BC$. Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle KBC}$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Таким образом, $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Из этих трех равенств следует, что площади треугольников $\triangle EDC$ и $\triangle KBC$ равны:

$S_{\triangle EDC} = S_{\triangle KBC}$

Шаг 2: Выражение площадей треугольников через точку пересечения O.

Точка $O$ является точкой пересечения прямых $ED$ и $KB$. Это означает, что:

• Точки $E, O, D$ лежат на одной прямой.
• Точки $K, O, B$ лежат на одной прямой.

Используем это для разложения площадей треугольников $\triangle EDC$ и $\triangle KBC$ на составные части:

• Площадь треугольника $\triangle EDC$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle EOC$ и $\triangle DOC$, поскольку они имеют общую вершину $C$, а их основания $EO$ и $OD$ лежат на одной прямой $ED$: $S_{\triangle EDC} = S_{\triangle EOC} + S_{\triangle DOC}$.
• Аналогично, площадь треугольника $\triangle KBC$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle KOC$ и $\triangle BOC$: $S_{\triangle KBC} = S_{\triangle KOC} + S_{\triangle BOC}$.

Подставив эти выражения в равенство $S_{\triangle EDC} = S_{\triangle KBC}$, получаем:

$S_{\triangle EOC} + S_{\triangle DOC} = S_{\triangle KOC} + S_{\triangle BOC}$

Шаг 3: Доказательство равенства площадей четырехугольников ABOD и CEOK.

Площадь четырехугольника $ABOD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$ (по диагонали $AO$):$S_{ABOD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$.

Площадь четырехугольника $CEOK$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle EOC$ и $\triangle KOC$ (по диагонали $CO$):$S_{CEOK} = S_{\triangle EOC} + S_{\triangle KOC}$.

Рассмотрим произвольную точку $O$ и параллелограмм $ABCD$. Площадь треугольника $\triangle ABC$ равна площади $\triangle ADC$. Для любой точки $O$ справедливы равенства (исходя из того, что площади фигур можно складывать и вычитать):$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC} \pm S_{\triangle OAC}$ и $S_{\triangle ADC} = S_{\triangle OAD} + S_{\triangle ODC} \pm S_{\triangle OAC}$.Из $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$ следует:$S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC} = S_{\triangle OAD} + S_{\triangle ODC}$.

Теперь у нас есть два ключевых равенства:

1. $S_{\triangle EOC} + S_{\triangle DOC} = S_{\triangle KOC} + S_{\triangle BOC}$
2. $S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC} = S_{\triangle OAD} + S_{\triangle ODC}$

Выразим из обоих равенств разность $S_{\triangle OBC} - S_{\triangle DOC}$:

Из (1): $S_{\triangle OBC} - S_{\triangle DOC} = S_{\triangle EOC} - S_{\triangle KOC}$

Из (2): $S_{\triangle OBC} - S_{\triangle DOC} = S_{\triangle OAD} - S_{\triangle OAB}$

Приравнивая правые части, получаем:

$S_{\triangle EOC} - S_{\triangle KOC} = S_{\triangle OAD} - S_{\triangle OAB}$

Перегруппируем члены этого равенства:

$S_{\triangle EOC} + S_{\triangle KOC} = S_{\triangle OAD} + S_{\triangle OAB}$

В левой части этого равенства стоит $S_{CEOK}$, а в правой — $S_{ABOD}$.

$S_{CEOK} = S_{ABOD}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство площадей четырехугольников ABOD и CEOK доказано.