Номер 847, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 847, страница 216.

847 Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и AOD равны S₁ и S₂. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, площадь треугольника $BOC$ равна $S_1$, а площадь треугольника $AOD$ равна $S_2$. Обозначим площади треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ как $S_{AOB}$ и $S_{COD}$ соответственно. Площадь всей трапеции $S_{ABCD}$ складывается из площадей этих четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOD} + S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD} = S_1 + S_2 + S_{AOB} + S_{COD}$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$. Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ подобны по двум углам:

• $\angle BOC = \angle AOD$ (как вертикальные углы).
• $\angle OCB = \angle OAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).

2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия $k$: $\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{S_1}{S_2} = k^2$. Отсюда коэффициент подобия $k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$. Отношение соответствующих сторон также равно $k$, например, $\frac{OC}{OA} = k$.

3. Найдем площади треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$ и равные высоты, опущенные из вершин $B$ и $C$ на прямую $AD$ (эти высоты равны высоте трапеции). Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$. Так как $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$ и $S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$, то, приравнивая их, получаем: $S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$. Отсюда следует важное свойство трапеции: $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

4. Теперь выразим площадь $S_{\triangle AOB}$ через $S_1$ и $S_2$. Треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Значит, отношение их площадей равно отношению их оснований: $\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{OA}{OC}$. Из подобия $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ мы знаем, что $\frac{OC}{OA} = k$, следовательно, $\frac{OA}{OC} = \frac{1}{k}$. Получаем: $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} \cdot \frac{OA}{OC} = S_1 \cdot \frac{1}{k} = S_1 \cdot \frac{1}{\sqrt{S_1/S_2}} = S_1 \cdot \sqrt{\frac{S_2}{S_1}} = \sqrt{S_1^2 \cdot \frac{S_2}{S_1}} = \sqrt{S_1 S_2}$.

5. Таким образом, площади боковых треугольников равны: $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD} = \sqrt{S_1 S_2}$.

6. Теперь можно найти общую площадь трапеции, сложив площади всех четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_1 + S_2 + S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD} = S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} + \sqrt{S_1 S_2} = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1 S_2}$.

7. Полученное выражение является формулой полного квадрата суммы: $S_{ABCD} = (\sqrt{S_1})^2 + 2\sqrt{S_1}\sqrt{S_2} + (\sqrt{S_2})^2 = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.

Ответ: $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$.