Номер 841, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 841, страница 215.

841 Докажите, что если треугольник имеет более, чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Докажем данное утверждение. Пусть треугольник $ABC$ имеет более одной оси симметрии. Это означает, что он имеет как минимум две оси симметрии.

Ось симметрии треугольника – это прямая, при отражении относительно которой треугольник переходит сам в себя. Такая прямая обязательно проходит через одну из вершин треугольника и является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне (а также биссектрисой угла и медианой). Треугольник, имеющий ось симметрии, является равнобедренным.

Пусть первая ось симметрии $l_1$ проходит через вершину $A$. При симметрии относительно прямой $l_1$ вершина $B$ переходит в вершину $C$, и наоборот. Так как осевая симметрия является движением и сохраняет расстояния, то отрезок $AB$ переходит в отрезок $AC$. Следовательно, их длины равны: $AB = AC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

По условию, у треугольника есть как минимум еще одна ось симметрии, $l_2$. Она не может совпадать с $l_1$, а значит, должна проходить через другую вершину. Пусть ось $l_2$ проходит через вершину $B$. Аналогично первому случаю, при симметрии относительно $l_2$ вершина $A$ переходит в вершину $C$. Следовательно, отрезок $BA$ переходит в отрезок $BC$, и их длины равны: $BA = BC$.

Мы получили два равенства:
1) Из наличия оси симметрии $l_1$: $AB = AC$.
2) Из наличия оси симметрии $l_2$: $AB = BC$.
Из этих двух равенств следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = AC = BC$.

Треугольник, у которого все три стороны равны, по определению является равносторонним. Таким образом, утверждение, что если треугольник имеет более одной оси симметрии, то он равносторонний, доказано.

Ответ: утверждение доказано.