Номер 846, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 846, страница 216.

846 Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

Пусть $M$ — середина боковой стороны $CD$, то есть $CM = MD$.

Пусть $MH$ — перпендикуляр, проведенный из точки $M$ к прямой, содержащей боковую сторону $AB$.

Требуется доказать, что площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна $AB \cdot MH$.

Доказательство:

1. Проведем прямую через точки $B$ и $M$ до ее пересечения с прямой $AD$. Обозначим точку пересечения буквой $K$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle KDM$.

• $CM = DM$ (по построению, так как $M$ — середина $CD$).
• $\angle BCM = \angle KDM$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AK$ и секущей $CK$).
• $\angle BMC = \angle KMD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle BCM \cong \triangle KDM$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

3. Из равенства треугольников следует, что их площади также равны: $S_{\triangle BCM} = S_{\triangle KDM}$.

4. Площадь трапеции $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырехугольника $ABMD$ и треугольника $\triangle BCM$:

$S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle BCM}$

Заменим в этом равенстве площадь треугольника $\triangle BCM$ на равную ей площадь треугольника $\triangle KDM$:

$S_{ABCD} = S_{ABMD} + S_{\triangle KDM}$

Сумма площадей $S_{ABMD}$ и $S_{\triangle KDM}$ составляет площадь большого треугольника $\triangle ABK$. Таким образом, мы показали, что площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $\triangle ABK$:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABK}$

5. Теперь найдем площадь треугольника $\triangle ABK$. Из равенства треугольников $\triangle BCM \cong \triangle KDM$ также следует равенство сторон: $BM = MK$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BK$ в треугольнике $\triangle ABK$.

6. Площадь треугольника $\triangle ABM$ с основанием $AB$ и высотой $MH$ (перпендикуляром из $M$ к прямой $AB$) равна:

$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} AB \cdot MH$

7. В треугольнике $\triangle ABK$ отрезок $AM$ является медианой, так как он соединяет вершину $A$ с серединой $M$ противоположной стороны $BK$. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих): $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle AMK}$.

Следовательно, площадь всего треугольника $\triangle ABK$ вдвое больше площади треугольника $\triangle ABM$:

$S_{\triangle ABK} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle AMK} = 2 \cdot S_{\triangle ABM}$

8. Сопоставим все полученные равенства:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABK} = 2 \cdot S_{\triangle ABM} = 2 \cdot (\frac{1}{2} AB \cdot MH) = AB \cdot MH$

Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.