Номер 840, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

840 Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.

Для построения равнобедренной трапеции по заданным основаниям и диагонали, воспользуемся методом вспомогательного треугольника.

Анализ

Пусть нам дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD = a$, $BC = b$, а $AC$ и $BD$ — диагонали, равные $d$. В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому $AC = BD = d$.

Выполним параллельный перенос диагонали $BD$ на вектор $\vec{BC}$. При этом точка $B$ перейдет в точку $C$, а точка $D$ — в некоторую точку $K$. В результате мы получим параллелограмм $BCKD$. В этом параллелограмме $CK$ параллельна $BD$ и $CK = BD = d$, а $DK$ параллельна $BC$ и $DK = BC = b$.

Поскольку $AD || BC$ и $BC || DK$, то точки $A$, $D$, $K$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $AK$ будет равна сумме длин оснований: $AK = AD + DK = a + b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACK$. Все его стороны нам известны:

• $AC = d$ (диагональ трапеции).
• $CK = d$ (так как $CK = BD$, а диагонали равны).
• $AK = a + b$ (сумма оснований).

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACK$ по трем сторонам, что позволяет затем найти все вершины искомой трапеции.

Построение

1. На произвольной прямой $l$ выбираем точку $A$ и откладываем на ней отрезок $AK$, длина которого равна сумме длин оснований $a + b$.

2. Строим треугольник $ACK$. Для этого проводим две дуги окружностей:

   • с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине диагонали $d$;
   • с центром в точке $K$ и радиусом, также равным $d$.

   Точка пересечения этих дуг даст нам вершину $C$. (Заметим, что построение возможно только в том случае, если дуги пересекаются, то есть выполняется неравенство треугольника: $d + d > a + b$, или $d > \frac{a+b}{2}$).

3. Теперь находим оставшиеся вершины $B$ и $D$:
   • Вершина $D$ лежит на отрезке $AK$. Откладываем от точки $A$ на прямой $l$ отрезок $AD$, равный длине большего основания $a$.
   • Вершину $B$ строим, исходя из того, что $BC$ параллельно $AD$ и имеет длину $b$. Для этого через точку $C$ проводим прямую $m$, параллельную прямой $l$. На этой прямой $m$ откладываем отрезок $CB$ длиной $b$ так, чтобы вектор $\vec{BC}$ был сонаправлен вектору $\vec{AD}$.
4. Соединяем последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомой равнобедренной трапецией.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению, сторона $AD$ лежит на прямой $l$, а сторона $BC$ — на прямой $m$. Так как $m || l$, то $AD || BC$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция.

2. Длины оснований по построению равны $AD = a$ и $BC = b$.

3. Диагональ $AC$ по построению равна $d$.

4. Найдем длину второй диагонали $BD$. Рассмотрим четырехугольник $BCKD$. По построению $BC$ параллельна $DK$ (обе лежат на параллельных прямых $m$ и $l$) и $BC = b$. Отрезок $DK = AK - AD = (a+b) - a = b$. Так как две противоположные стороны $BC$ и $DK$ четырехугольника $BCKD$ равны и параллельны, то $BCKD$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BD = CK$. А отрезок $CK$ мы строили как сторону треугольника $ACK$ с длиной $d$. Следовательно, $BD = d$.

5. Так как в построенной трапеции $ABCD$ диагонали равны ($AC = BD = d$), то эта трапеция является равнобедренной.

Таким образом, построенная фигура полностью соответствует условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения, основанный на построении вспомогательного равнобедренного треугольника со сторонами $d$, $d$ и $a+b$, позволяет построить искомую равнобедренную трапецию.