Номер 840, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 840, страница 215.

840 Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.

Для построения равнобедренной трапеции по заданным основаниям и диагонали, воспользуемся методом вспомогательного треугольника.

Анализ

Пусть нам дана равнобедренная трапеция `ABCD`, где `AD` и `BC` — основания, причем `AD = a`, `BC = b`, а `AC` и `BD` — диагонали, равные `d`. В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому `AC = BD = d`.

Выполним параллельный перенос диагонали `BD` на вектор $\vec{BC}$. При этом точка `B` перейдет в точку `C`, а точка `D` — в некоторую точку `K`. В результате мы получим параллелограмм `BCKD`. В этом параллелограмме `CK` параллельна `BD` и `CK = BD = d`, а `DK` параллельна `BC` и `DK = BC = b`.

Поскольку `AD || BC` и `BC || DK`, то точки `A`, `D`, `K` лежат на одной прямой. Длина отрезка `AK` будет равна сумме длин оснований: `AK = AD + DK = a + b`.

Теперь рассмотрим треугольник `ACK`. Все его стороны нам известны:

• `AC = d` (диагональ трапеции).
• `CK = d` (так как `CK = BD`, а диагонали равны).
• `AK = a + b` (сумма оснований).

Таким образом, задача сводится к построению треугольника `ACK` по трем сторонам, что позволяет затем найти все вершины искомой трапеции.

Построение

1. На произвольной прямой `l` выбираем точку `A` и откладываем на ней отрезок `AK`, длина которого равна сумме длин оснований `a + b`.
2. Строим треугольник `ACK`. Для этого проводим две дуги окружностей:
   • с центром в точке `A` и радиусом, равным длине диагонали `d`;
   • с центром в точке `K` и радиусом, также равным `d`.
   Точка пересечения этих дуг даст нам вершину `C`. (Заметим, что построение возможно только в том случае, если дуги пересекаются, то есть выполняется неравенство треугольника: $d + d > a + b$, или $d > \frac{a+b}{2}$).
3. Теперь находим оставшиеся вершины `B` и `D`:
   • Вершина `D` лежит на отрезке `AK`. Откладываем от точки `A` на прямой `l` отрезок `AD`, равный длине большего основания `a`.
   • Вершину `B` строим, исходя из того, что `BC` параллельно `AD` и имеет длину `b`. Для этого через точку `C` проводим прямую `m`, параллельную прямой `l`. На этой прямой `m` откладываем отрезок `CB` длиной `b` так, чтобы вектор $\vec{BC}$ был сонаправлен вектору $\vec{AD}$.
4. Соединяем последовательно точки `A`, `B`, `C`, `D`. Полученный четырехугольник `ABCD` является искомой равнобедренной трапецией.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник `ABCD` удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению, сторона `AD` лежит на прямой `l`, а сторона `BC` — на прямой `m`. Так как `m || l`, то `AD || BC`. Следовательно, `ABCD` — трапеция.

2. Длины оснований по построению равны `AD = a` и `BC = b`.

3. Диагональ `AC` по построению равна `d`.

4. Найдем длину второй диагонали `BD`. Рассмотрим четырехугольник `BCKD`. По построению `BC` параллельна `DK` (обе лежат на параллельных прямых `m` и `l`) и `BC = b`. Отрезок `DK = AK - AD = (a+b) - a = b`. Так как две противоположные стороны `BC` и `DK` четырехугольника `BCKD` равны и параллельны, то `BCKD` — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому `BD = CK`. А отрезок `CK` мы строили как сторону треугольника `ACK` с длиной `d`. Следовательно, `BD = d`.

5. Так как в построенной трапеции `ABCD` диагонали равны (`AC = BD = d`), то эта трапеция является равнобедренной.

Таким образом, построенная фигура полностью соответствует условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения, основанный на построении вспомогательного равнобедренного треугольника со сторонами `d`, `d` и `a+b`, позволяет построить искомую равнобедренную трапецию.