Номер 833, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 833, страница 214.

833 Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Доказательство утверждения, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причём $AD \parallel BC$ и боковые стороны $AB=CD$. Пусть точка $M$ — середина меньшего основания $BC$, а точка $N$ — середина большего основания $AD$. Требуется доказать, что прямая $MN$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$ (т.е. $MN \perp AD$ и $MN \perp BC$).

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Боковые стороны трапеции не параллельны ($AB \nparallel CD$).

Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в некоторой точке $S$. Так как основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, то треугольник $SBC$ подобен треугольнику $SAD$ ($\triangle SBC \sim \triangle SAD$).

По свойству равнобедренной трапеции, углы при основании равны: $\angle BAD = \angle CDA$. Это означает, что треугольник $SAD$ является равнобедренным с основанием $AD$, и, следовательно, $SA = SD$.

Так как трапеция равнобедренная, $AB = CD$. Вычтем эти длины из равных сторон $SA$ и $SD$:
$SB = SA - AB$
$SC = SD - CD$
Отсюда следует, что $SB = SC$. Таким образом, треугольник $SBC$ также является равнобедренным с основанием $BC$.

В равнобедренном треугольнике $SAD$ отрезок $SN$ соединяет вершину $S$ с серединой основания $N$. Следовательно, $SN$ является медианой, а по свойству равнобедренного треугольника — также и высотой. Значит, $SN \perp AD$.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $SBC$ отрезок $SM$ является медианой, проведённой к основанию $BC$, а значит, и высотой. Следовательно, $SM \perp BC$.

Поскольку основания $AD$ и $BC$ параллельны, а прямая $SM$ перпендикулярна $BC$, то она перпендикулярна и $AD$ ($SM \perp AD$).

Таким образом, мы имеем две прямые, $SN$ и $SM$, которые проходят через одну и ту же точку $S$ и перпендикулярны одной и той же прямой $AD$. Согласно аксиоме геометрии, через точку, не лежащую на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Это означает, что точки $S$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Следовательно, прямая $MN$ является частью прямой $SN$ и перпендикулярна основанию $AD$, а значит и основанию $BC$.

Случай 2: Боковые стороны трапеции параллельны ($AB \parallel CD$).

Если боковые стороны трапеции параллельны, то четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом. Поскольку по условию это равнобедренная трапеция ($AB=CD$), то этот параллелограмм является прямоугольником. В прямоугольнике отрезок, соединяющий середины противоположных сторон (оснований), перпендикулярен этим сторонам. Таким образом, утверждение верно и в этом частном случае.

Ответ: Доказано, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.

Формулировка и доказательство обратного утверждения

Сформулируем обратное утверждение: Если в трапеции прямая, проходящая через середины её оснований, перпендикулярна этим основаниям, то такая трапеция является равнобедренной.

Доказательство.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$. Точка $M$ — середина $BC$, точка $N$ — середина $AD$. По условию, прямая $MN$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$. Требуется доказать, что трапеция $ABCD$ является равнобедренной, то есть $AB = CD$.

Проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. По построению, $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$. Четырёхугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel HK$ и $BH \parallel CK$ (как два перпендикуляра к одной прямой), а углы $\angle BHC$ и $\angle CKH$ — прямые. Из этого следует, что $BH = CK$ (как высоты трапеции) и $BC = HK$.

По условию задачи, прямая $MN \perp AD$. Так как $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$, то прямые $BH$, $MN$ и $CK$ параллельны друг другу ($BH \parallel MN \parallel CK$).

Рассмотрим трапецию $BCKH$. Прямая $MN$ проходит через середину $M$ боковой стороны $BC$ и параллельна основаниям $BH$ и $CK$. По теореме Фалеса, эта прямая пересекает другую боковую сторону $HK$ в её середине. Точка пересечения прямой $MN$ с прямой $AD$ (и, соответственно, с отрезком $HK$) — это точка $N$. Следовательно, точка $N$ является серединой отрезка $HK$, то есть $HN = NK$.

Из условия задачи мы также знаем, что $N$ — середина всего основания $AD$, то есть $AN = ND$.

Выразим равные отрезки $AN$ и $ND$ через другие отрезки на прямой $AD$:
$AN = AH + HN$
$ND = NK + KD$

Приравнивая эти выражения, получаем: $AH + HN = NK + KD$.

Поскольку мы доказали, что $HN = NK$, мы можем сократить эти члены в равенстве, что даёт нам $AH = KD$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. В этих треугольниках:
1. $AH = KD$ (доказано выше).
2. $BH = CK$ (как высоты одной и той же трапеции).
3. $\angle AHB = \angle DKC = 90^\circ$ (по построению высот).

Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

Таким образом, трапеция $ABCD$ имеет равные боковые стороны, то есть является равнобедренной, что и требовалось доказать.

Ответ: Сформулировано и доказано обратное утверждение: если в трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна этим основаниям, то трапеция является равнобедренной.