Номер 827, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 827, страница 214.

827 Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его диагоналями являются отрезки, соединяющие противолежащие вершины, то есть $AC$ и $BD$. Необходимо доказать, что эти отрезки пересекаются.

Доказательство использует одно из ключевых свойств выпуклых многоугольников. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, все внутренние углы которого меньше $180^\circ$. Также это означает, что любая диагональ выпуклого многоугольника лежит полностью внутри него.

Рассмотрим диагональ $AC$ и прямую, которая её содержит. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Докажем, что вершины $B$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$.

Предположим противное: пусть вершины $B$ и $D$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AC$. В этом случае весь четырёхугольник $ABCD$ будет лежать по одну сторону от прямой $AC$. Но тогда прямая $AC$ не может быть диагональю, так как она не будет лежать внутри четырёхугольника, а будет являться частью его границы, что невозможно. Более формально, если $B$ и $D$ находятся по одну сторону от прямой $AC$, то один из внутренних углов четырёхугольника (при вершине $B$ или $D$) будет больше $180^\circ$. Например, угол при вершине $D$ будет равен сумме углов $\angle ADC$ и $\angle CDB'$, где $B'$ - точка на продолжении $CB$, что делает его внешним, а внутренний угол будет рефлексивным. Это противоречит определению выпуклого четырёхугольника.

Следовательно, наше предположение неверно, и вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.

Поскольку концы отрезка $BD$ (точки $B$ и $D$) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$, то, по теореме о пересечении отрезком прямой, отрезок $BD$ пересекает прямую $AC$. Назовём точку их пересечения $O$.

Теперь проведём аналогичные рассуждения для диагонали $BD$. Вершины $A$ и $C$ должны лежать по разные стороны от прямой, содержащей диагональ $BD$. Если бы они лежали по одну сторону, то угол при вершине $A$ или $C$ был бы больше $180^\circ$, что снова противоречит выпуклости.

Так как концы отрезка $AC$ (точки $A$ и $C$) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $BD$, отрезок $AC$ пересекает прямую $BD$. Точка пересечения двух прямых единственна, значит, это та же самая точка $O$.

Из того, что точка $O$ является результатом пересечения отрезка $BD$ с прямой $AC$, следует, что $O$ лежит на отрезке $BD$. Из того, что точка $O$ является результатом пересечения отрезка $AC$ с прямой $BD$, следует, что $O$ лежит на отрезке $AC$.

Таким образом, точка $O$ принадлежит обоим отрезкам $AC$ и $BD$, а это и означает, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, так как концы одной диагонали всегда лежат по разные стороны от прямой, содержащей другую диагональ, что гарантирует пересечение отрезков.