Номер 822, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 822, страница 213.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№822 (с. 213)
Условие. №822 (с. 213)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 213, номер 822, Условие

822 Около треугольника АВС описана окружность. Биссектрисы его углов А, В и С пересекают эту окружность в точках А₁, В₁ и С₁. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ содержат высоты треугольника А₁В₁С₁.

Решение 1. №822 (с. 213)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 213, номер 822, Решение 1
Решение 10. №822 (с. 213)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 213, номер 822, Решение 10 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 213, номер 822, Решение 10 (продолжение 2)
Решение 11. №822 (с. 213)

Пусть $ \triangle ABC $ вписан в окружность. Обозначим углы этого треугольника как $ \angle A, \angle B, \angle C $. По условию, $ AA_1, BB_1, CC_1 $ — биссектрисы углов $ \angle A, \angle B, \angle C $ соответственно, где точки $ A_1, B_1, C_1 $ лежат на описанной окружности.

Нам нужно доказать, что прямые $ AA_1, BB_1, CC_1 $ содержат высоты треугольника $ A_1B_1C_1 $. Докажем, что прямая $ AA_1 $ перпендикулярна стороне $ B_1C_1 $. Для остальных прямых и сторон доказательство будет аналогичным в силу симметрии.

Воспользуемся свойством, что вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Поскольку $AA_1$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle BAA_1 = \angle CAA_1 = \frac{\angle A}{2}$. Эти углы являются вписанными и опираются на дуги $BA_1$ и $CA_1$ соответственно. Следовательно, градусные меры этих дуг равны:$ \cup BA_1 = 2 \cdot \angle BAA_1 = 2 \cdot \frac{\angle A}{2} = \angle A $.$ \cup CA_1 = 2 \cdot \angle CAA_1 = 2 \cdot \frac{\angle A}{2} = \angle A $.

Аналогично для биссектрис $BB_1$ и $CC_1$:
$BB_1$ — биссектриса $\angle B \implies \cup AB_1 = \cup CB_1 = \angle B$.
$CC_1$ — биссектриса $\angle C \implies \cup AC_1 = \cup BC_1 = \angle C$.

Пусть прямая $AA_1$ пересекает прямую $B_1C_1$ в точке $H$. Чтобы доказать, что $AA_1 \perp B_1C_1$, нужно показать, что угол $ \angle A_1HB_1 = 90^\circ $. Рассмотрим для этого треугольник $ \triangle A_1HB_1 $ и найдем два его угла.

1. Угол $\angle HA_1B_1$ (тот же, что и $\angle AA_1B_1$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $\cup AB_1$. Мы установили, что $ \cup AB_1 = \angle B $, следовательно:$ \angle HA_1B_1 = \frac{1}{2} \cup AB_1 = \frac{\angle B}{2} $.

2. Угол $\angle HB_1A_1$ (тот же, что и $\angle C_1B_1A_1$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $\cup C_1A_1$. Эта дуга является суммой дуг $\cup C_1B$ и $\cup BA_1$. Мы нашли, что $ \cup C_1B = \angle C $ и $ \cup BA_1 = \angle A $. Таким образом:$ \cup C_1A_1 = \cup C_1B + \cup BA_1 = \angle C + \angle A $.Следовательно, $ \angle HB_1A_1 = \frac{1}{2} \cup C_1A_1 = \frac{\angle A + \angle C}{2} $.

Теперь, зная два угла в треугольнике $ \triangle A_1HB_1 $, найдем третий угол $ \angle A_1HB_1 $ по теореме о сумме углов треугольника:$ \angle A_1HB_1 = 180^\circ - (\angle HA_1B_1 + \angle HB_1A_1) = 180^\circ - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle A + \angle C}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B + \angle C}{2} $.

Поскольку сумма углов в исходном треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, то есть $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $. Подставим это значение в наше выражение:$ \angle A_1HB_1 = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Это означает, что $ AA_1 \perp B_1C_1 $, и, следовательно, прямая $AA_1$ содержит высоту треугольника $A_1B_1C_1$, проведенную из вершины $A_1$. Аналогично доказывается, что $ BB_1 \perp A_1C_1 $ и $ CC_1 \perp A_1B_1 $. Таким образом, все три прямые содержат высоты треугольника $A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ содержат высоты треугольника $A_1B_1C_1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 822 расположенного на странице 213 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №822 (с. 213), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться