Номер 822, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 822, страница 213.

Условие.

822 Около треугольника АВС описана окружность. Биссектрисы его углов А, В и С пересекают эту окружность в точках А₁, В₁ и С₁. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ содержат высоты треугольника А₁В₁С₁.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть $ \triangle ABC $ вписан в окружность. Обозначим углы этого треугольника как $ \angle A, \angle B, \angle C $. По условию, $ AA_1, BB_1, CC_1 $ — биссектрисы углов $ \angle A, \angle B, \angle C $ соответственно, где точки $ A_1, B_1, C_1 $ лежат на описанной окружности.

Нам нужно доказать, что прямые $ AA_1, BB_1, CC_1 $ содержат высоты треугольника $ A_1B_1C_1 $. Докажем, что прямая $ AA_1 $ перпендикулярна стороне $ B_1C_1 $. Для остальных прямых и сторон доказательство будет аналогичным в силу симметрии.

Воспользуемся свойством, что вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Поскольку $AA_1$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle BAA_1 = \angle CAA_1 = \frac{\angle A}{2}$. Эти углы являются вписанными и опираются на дуги $BA_1$ и $CA_1$ соответственно. Следовательно, градусные меры этих дуг равны:$ \cup BA_1 = 2 \cdot \angle BAA_1 = 2 \cdot \frac{\angle A}{2} = \angle A $.$ \cup CA_1 = 2 \cdot \angle CAA_1 = 2 \cdot \frac{\angle A}{2} = \angle A $.

Аналогично для биссектрис $BB_1$ и $CC_1$:
$BB_1$ — биссектриса $\angle B \implies \cup AB_1 = \cup CB_1 = \angle B$.
$CC_1$ — биссектриса $\angle C \implies \cup AC_1 = \cup BC_1 = \angle C$.

Пусть прямая $AA_1$ пересекает прямую $B_1C_1$ в точке $H$. Чтобы доказать, что $AA_1 \perp B_1C_1$, нужно показать, что угол $ \angle A_1HB_1 = 90^\circ $. Рассмотрим для этого треугольник $ \triangle A_1HB_1 $ и найдем два его угла.

1. Угол $\angle HA_1B_1$ (тот же, что и $\angle AA_1B_1$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $\cup AB_1$. Мы установили, что $ \cup AB_1 = \angle B $, следовательно:$ \angle HA_1B_1 = \frac{1}{2} \cup AB_1 = \frac{\angle B}{2} $.

2. Угол $\angle HB_1A_1$ (тот же, что и $\angle C_1B_1A_1$) — это вписанный угол, который опирается на дугу $\cup C_1A_1$. Эта дуга является суммой дуг $\cup C_1B$ и $\cup BA_1$. Мы нашли, что $ \cup C_1B = \angle C $ и $ \cup BA_1 = \angle A $. Таким образом:$ \cup C_1A_1 = \cup C_1B + \cup BA_1 = \angle C + \angle A $.Следовательно, $ \angle HB_1A_1 = \frac{1}{2} \cup C_1A_1 = \frac{\angle A + \angle C}{2} $.

Теперь, зная два угла в треугольнике $ \triangle A_1HB_1 $, найдем третий угол $ \angle A_1HB_1 $ по теореме о сумме углов треугольника:$ \angle A_1HB_1 = 180^\circ - (\angle HA_1B_1 + \angle HB_1A_1) = 180^\circ - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle A + \angle C}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B + \angle C}{2} $.

Поскольку сумма углов в исходном треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, то есть $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $. Подставим это значение в наше выражение:$ \angle A_1HB_1 = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Это означает, что $ AA_1 \perp B_1C_1 $, и, следовательно, прямая $AA_1$ содержит высоту треугольника $A_1B_1C_1$, проведенную из вершины $A_1$. Аналогично доказывается, что $ BB_1 \perp A_1C_1 $ и $ CC_1 \perp A_1B_1 $. Таким образом, все три прямые содержат высоты треугольника $A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ содержат высоты треугольника $A_1B_1C_1$.