Номер 815, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 815, страница 213.

815 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

Для доказательства утверждения рассмотрим последовательно, какие свойства придают параллелограмму возможность вписать в него окружность и описать окружность около него.

1. В параллелограмм можно вписать окружность.

Согласно свойству описанного четырехугольника, в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Пусть смежные стороны нашего параллелограмма равны $a$ и $b$. В любом параллелограмме противолежащие стороны равны. Следовательно, условие для вписанной окружности можно записать в виде: $a + a = b + b$

Упрощая это выражение, получаем $2a = 2b$, откуда следует, что $a = b$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Таким образом, из первого условия следует, что наш параллелограмм — ромб.

2. Около параллелограмма можно описать окружность.

Согласно свойству вписанного в окружность четырехугольника, около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Пусть один из углов параллелограмма равен $\alpha$. В любом параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому противолежащий угол также равен $\alpha$. Тогда условие для описанной окружности принимает вид: $\alpha + \alpha = 180^\circ$

Отсюда $2\alpha = 180^\circ$, и, следовательно, $\alpha = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником (так как все его углы в этом случае будут прямыми). Таким образом, из второго условия следует, что наш параллелограмм — прямоугольник.

Заключение.

Мы установили, что данный параллелограмм одновременно является и ромбом (все его стороны равны), и прямоугольником (все его углы прямые). Фигура, обладающая обоими этими свойствами, по определению является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.