Номер 810, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 810, страница 212.

810* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD

∠A + ∠C = 180°. (1)

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. 273, а) — и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёхугольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. 273, б). В этом случае $\angle C=\frac{1}{2}\text{(◡DAB+◡EF)}$ (объясните почему), и, следовательно, $\angle C=\frac{1}{2}\text{◡DAB.}$ Так как $\angle A=\frac{1}{2}\text{◡BED,}$ то

$\angle A+\angle C>\frac{1}{2}\text{(◡BED+◡DAB)=}\frac{1}{2}·\text{360° = 180°.}$

Итак, мы получили, что ∠A+∠C>180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.

Задача представляет собой доказательство теоремы, обратной теореме о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника. Требуется доказать, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то около него можно описать окружность.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD сумма противоположных углов равна $180^\circ$, например, $ \angle A + \angle C = 180^\circ $. Докажем, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Через любые три вершины четырёхугольника, не лежащие на одной прямой, например, A, B и D, можно провести единственную окружность. Предположим, что четвёртая вершина C не лежит на этой окружности. Тогда она может находиться либо внутри круга, ограниченного этой окружностью, либо вне его. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Вершина C лежит внутри круга (рис. 273, б)

В этом случае продолжим лучи BC и DC до пересечения с окружностью в точках E и F соответственно. В тексте задачи утверждается, что $ \angle C = \frac{1}{2}(\smile{DAB} + \smile{EF}) $ и предлагается это объяснить. Объяснение следующее: рассмотрим треугольник BCF. Угол $ \angle BCD $ (или $ \angle C $) является внешним углом для этого треугольника. По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $ \angle C = \angle CBF + \angle BFC $. Угол $ \angle CBF $ (тот же, что и $ \angle EBF $) — это вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу EF, следовательно, $ \angle CBF = \frac{1}{2} \mu(\smile{EF}) $. Угол $ \angle BFC $ (тот же, что и $ \angle BFD $) — это вписанный угол, опирающийся на дугу DAB. Таким образом, $ \angle BFC = \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) $. Подставив эти выражения, получаем: $ \angle C = \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) + \frac{1}{2} \mu(\smile{EF}) = \frac{1}{2}(\mu(\smile{DAB}) + \mu(\smile{EF})) $. Это и есть требуемое объяснение.

Поскольку точка C лежит внутри круга, точки E и F не совпадают с B и D, и дуга EF имеет положительную меру, то есть $ \mu(\smile{EF}) > 0 $. Отсюда следует, что $ \angle C > \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) $. Угол A ($ \angle BAD $) является вписанным и опирается на дугу BCD (в тексте задачи она обозначена как BED), поэтому $ \angle A = \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) $. Сложим угол A и неравенство для угла C: $ \angle A + \angle C > \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) + \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) $. Дуги BCD и DAB вместе составляют полную окружность, их суммарная мера равна $ 360^\circ $. Следовательно, $ \angle A + \angle C > \frac{1}{2}(\mu(\smile{BCD}) + \mu(\smile{DAB})) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ $. Мы получили, что $ \angle A + \angle C > 180^\circ $, что противоречит условию задачи ($ \angle A + \angle C = 180^\circ $). Значит, наше предположение о том, что вершина C лежит внутри круга, неверно.

Случай 2: Вершина C лежит вне круга

Этот случай в учебнике предлагается доказать аналогично. Проведём рассуждения подробно. Пусть вершина C лежит вне круга, проходящего через точки A, B и D. Тогда стороны BC и DC (или их продолжения, являющиеся секущими) пересекают окружность в точках E и F. Угол C ($ \angle BCD $) образован двумя секущими, выходящими из одной точки. Его величина равна половине разности мер дуг, которые эти секущие высекают на окружности: $ \angle C = \frac{1}{2}(\mu(\smile{BAD}) - \mu(\smile{EF})) $. Докажем эту формулу. Соединим точки B и F. В треугольнике BCF угол $ \angle BFD $ является внешним по отношению к вершине F. Поэтому $ \angle BFD = \angle FBC + \angle FCB $. Отсюда $ \angle C = \angle FCB = \angle BFD - \angle FBC $. Угол $ \angle BFD $ — вписанный, опирается на дугу BAD, значит $ \angle BFD = \frac{1}{2}\mu(\smile{BAD}) $. Угол $ \angle FBC $ (тот же, что и $ \angle FBE $) — вписанный, опирается на дугу FE, значит $ \angle FBC = \frac{1}{2}\mu(\smile{FE}) $. Следовательно, $ \angle C = \frac{1}{2}\mu(\smile{BAD}) - \frac{1}{2}\mu(\smile{FE}) = \frac{1}{2}(\mu(\smile{BAD}) - \mu(\smile{FE})) $.

Поскольку точка C лежит вне круга, дуга EF имеет положительную меру ($ \mu(\smile{EF}) > 0 $). Следовательно, $ \angle C < \frac{1}{2} \mu(\smile{BAD}) $. Угол A, как и в первом случае, равен $ \angle A = \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) $. Сложим угол A и неравенство для угла C: $ \angle A + \angle C < \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) + \frac{1}{2} \mu(\smile{BAD}) = \frac{1}{2}(\mu(\smile{BCD}) + \mu(\smile{BAD})) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ $. Мы получили, что $ \angle A + \angle C < 180^\circ $, что также противоречит условию ($ \angle A + \angle C = 180^\circ $). Значит, наше предположение о том, что вершина C лежит вне круга, также неверно.

Поскольку вершина C не может лежать ни внутри, ни вне круга, проходящего через вершины A, B и D, она должна лежать на самой окружности. Таким образом, все четыре вершины четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности, а значит, около него можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано.