номер 810 (страница 212) гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

810* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD

∠A + ∠C = 180°. (1)

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. 273, а) — и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёхугольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. 273, б). В этом случае ∠C = 12 (◡DAB + ◡EF) (объясните почему), и, следовательно, ∠C > 12 ◡DAB. Так как ∠A = 12 ◡BED, то

Итак, мы получили, что ∠A + ∠C > 180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.