Номер 809, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 809, страница 212.

809 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

Для того чтобы доказать, что ромб, около которого можно описать окружность, является квадратом, воспользуемся свойствами ромба и свойством четырехугольника, вписанного в окружность.

Пусть нам дан ромб $ABCD$.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Как у любого параллелограмма, у ромба противоположные углы равны:
$\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

По условию, около этого ромба можно описать окружность. Это означает, что ромб является вписанным четырехугольником. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, для нашего ромба выполняются следующие равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Теперь объединим эти два факта. Рассмотрим пару углов $\angle A$ и $\angle C$. Мы знаем, что они равны (свойство ромба) и их сумма равна $180^\circ$ (свойство вписанного четырехугольника). Подставим $\angle A$ вместо $\angle C$ в уравнение суммы:
$\angle A + \angle A = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 90^\circ$

Поскольку $\angle C = \angle A$, то $\angle C$ также равен $90^\circ$. Аналогично для второй пары углов:
$\angle B + \angle B = 180^\circ$
$2\angle B = 180^\circ$
$\angle B = 90^\circ$

Соответственно, $\angle D = \angle B = 90^\circ$.

Мы получили, что все углы ромба $ABCD$ равны $90^\circ$. Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если около ромба можно описать окружность, то сумма его равных противоположных углов должна быть $180^\circ$, что возможно только если каждый угол равен $90^\circ$. Ромб с прямыми углами является квадратом.