Номер 807, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 807, страница 211.

807 Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD

AB+CD=BC+AD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов A и B равноудалена от сторон AD, AB и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 272, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 272, б). Проведём касательную C′D′, параллельную стороне CD (С′ и D′ — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABC′D′ — описанный четырёхугольник, то по свойству его сторон

AB+C′D′=BC′+AD′. (2)

Но ВС′=ВС−С′С, AD′=AD−D′D, поэтому из равенства (2) получаем:

C′D′+C′C+D′D=BC+AD−AB.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству

C′D′+C′C+D′D=CD,

т. е. в четырёхугольнике C′CDD′ одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

Это утверждение является теоремой, обратной к свойству описанного четырехугольника. Докажем ее.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором, по условию, суммы длин противоположных сторон равны: $$AB + CD = BC + AD \quad (1)$$

В любом выпуклом четырехугольнике биссектрисы двух соседних углов, например, $\angle A$ и $\angle B$, пересекаются. Обозначим точку их пересечения $O$. По свойству биссектрисы, любая ее точка равноудалена от сторон угла. Следовательно, точка $O$ равноудалена от сторон $AD$ и $AB$ (так как лежит на биссектрисе $\angle A$) и от сторон $AB$ и $BC$ (так как лежит на биссектрисе $\angle B$). Таким образом, точка $O$ равноудалена от трех сторон четырехугольника: $AD$, $AB$ и $BC$.

Это позволяет нам построить окружность с центром в точке $O$, которая касается этих трех сторон. Обозначим эту окружность $\omega$.

Теперь нам необходимо доказать, что эта окружность касается и четвертой стороны $CD$. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что сторона $CD$ не касается окружности $\omega$. Тогда возможны два случая: прямая, содержащая отрезок $CD$, либо не имеет с окружностью общих точек, либо является ее секущей.

Случай 1: Прямая $CD$ не имеет общих точек с окружностью.

В этом случае сторона $CD$ находится "снаружи" окружности. Проведем касательную к окружности $\omega$, параллельную стороне $CD$. Пусть эта касательная пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $C'$ и $D'$ соответственно. Мы получаем новый четырехугольник $ABC'D'$.

По построению, четырехугольник $ABC'D'$ является описанным около окружности $\omega$. Следовательно, для него выполняется свойство равенства сумм противоположных сторон: $$AB + C'D' = BC' + AD' \quad (2)$$

Точки $C'$ и $D'$ лежат на отрезках $BC$ и $AD$, поэтому мы можем выразить длины $BC'$ и $AD'$: $BC' = BC - C'C$
$AD' = AD - D'D$

Подставим эти выражения в равенство (2): $$AB + C'D' = (BC - C'C) + (AD - D'D)$$ Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить сумму $BC+AD$: $$AB + C'D' = (BC + AD) - C'C - D'D$$ Теперь воспользуемся исходным условием (1), согласно которому $BC + AD = AB + CD$. Заменим $BC + AD$ в правой части: $$AB + C'D' = (AB + CD) - C'C - D'D$$ Вычтем $AB$ из обеих частей: $$C'D' = CD - C'C - D'D$$ Или, перенеся все члены, кроме $CD$, в левую часть: $$C'D' + C'C + D'D = CD$$

Это равенство описывает стороны трапеции $C'CDD'$ (фигура является трапецией, так как $C'D' \parallel CD$). Однако, согласно неравенству многоугольника (обобщенному неравенству треугольника), длина одной стороны любого выпуклого многоугольника всегда строго меньше суммы длин остальных сторон. Для трапеции $C'CDD'$ должно выполняться неравенство $CD < C'D' + C'C + D'D$. Полученное нами равенство противоречит этому факту (равенство возможно только в вырожденном случае, когда точки $C', C, D, D'$ лежат на одной прямой, что невозможно для трапеции). Следовательно, наше исходное предположение для данного случая было неверным.

Случай 2: Прямая $CD$ является секущей окружности.

Доказательство проводится аналогично. Снова проведем касательную $C'D'$ к окружности $\omega$, параллельную $CD$. В этом случае точки $C'$ и $D'$ будут лежать на продолжениях сторон $BC$ и $AD$ за точки $C$ и $D$. Четырехугольник $ABC'D'$ снова будет описанным, и для него будет выполняться равенство: $$AB + C'D' = BC' + AD'$$

Но теперь длины сторон $BC'$ и $AD'$ выражаются так: $BC' = BC + CC'$
$AD' = AD + DD'$

Подставляя это в равенство для $ABC'D'$, получаем: $$AB + C'D' = (BC + CC') + (AD + DD')$$ $$AB + C'D' = (BC + AD) + CC' + DD'$$ Используя снова условие (1), $BC + AD = AB + CD$: $$AB + C'D' = (AB + CD) + CC' + DD'$$ Вычитая $AB$ из обеих частей, получаем: $$C'D' = CD + CC' + DD'$$

Это равенство для сторон трапеции $CDD'C'$ также противоречит неравенству многоугольника, согласно которому должно быть $C'D' < CD + CC' + DD'$. Следовательно, и это предположение неверно.

Поскольку оба возможных случая (прямая $CD$ не пересекает окружность и прямая $CD$ является секущей) приводят к противоречию, наше первоначальное предположение о том, что сторона $CD$ не касается окружности, является ложным. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что прямая $CD$ касается окружности $\omega$.

Таким образом, все четыре стороны четырехугольника $ABCD$ касаются одной и той же окружности $\omega$, а значит, в данный четырехугольник можно вписать окружность. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны ($AB + CD = BC + AD$), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Доказательство от противного показывает, что окружность, построенная касательной к трем сторонам, обязана касаться и четвертой стороны, так как любое другое ее положение относительно этой стороны приводит к логическому противоречию с неравенством многоугольника.