Страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

808 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.

Рассмотрим прямоугольную трапецию с основаниями $a$ и $b$, в которую вписана окружность радиуса $r$. Пусть $h$ — высота трапеции, которая в данном случае является одной из её боковых сторон (перпендикулярной основаниям). Вторую, наклонную, боковую сторону обозначим как $c$.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, её высота равна диаметру этой окружности. Таким образом, получаем первое соотношение: $h = 2r$.

Также для любого описанного четырёхугольника (в который можно вписать окружность) справедливо свойство равенства сумм длин противоположных сторон. Для нашей трапеции это свойство записывается так: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. $a + b = h + c$ Подставив $h = 2r$ в это равенство, получим: $a + b = 2r + c$ Из этого уравнения можно выразить длину наклонной стороны $c$: $c = a + b - 2r$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется, если из вершины меньшего основания провести высоту к большему основанию. Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности длин оснований $(a - b)$ (предполагая, что $a > b$). Гипотенузой будет наклонная сторона $c$. По теореме Пифагора имеем: $c^2 = h^2 + (a - b)^2$

Подставим в теорему Пифагора ранее найденные выражения для $c$ и $h$: $(a + b - 2r)^2 = (2r)^2 + (a - b)^2$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 - 2 \cdot (a+b) \cdot 2r + (2r)^2 = 4r^2 + (a-b)^2$ $a^2 + 2ab + b^2 - 4r(a+b) + 4r^2 = 4r^2 + a^2 - 2ab + b^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($a^2$, $b^2$, $4r^2$) в обеих частях равенства: $2ab - 4r(a+b) = -2ab$

Теперь решим полученное уравнение относительно $r$: $2ab + 2ab = 4r(a+b)$ $4ab = 4r(a+b)$ $ab = r(a+b)$

И, наконец, находим искомый радиус: $r = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: $r = \frac{ab}{a+b}$

809 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

Для того чтобы доказать, что ромб, около которого можно описать окружность, является квадратом, воспользуемся свойствами ромба и свойством четырехугольника, вписанного в окружность.

Пусть нам дан ромб $ABCD$.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Как у любого параллелограмма, у ромба противоположные углы равны:
$\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

По условию, около этого ромба можно описать окружность. Это означает, что ромб является вписанным четырехугольником. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, для нашего ромба выполняются следующие равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Теперь объединим эти два факта. Рассмотрим пару углов $\angle A$ и $\angle C$. Мы знаем, что они равны (свойство ромба) и их сумма равна $180^\circ$ (свойство вписанного четырехугольника). Подставим $\angle A$ вместо $\angle C$ в уравнение суммы:
$\angle A + \angle A = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 90^\circ$

Поскольку $\angle C = \angle A$, то $\angle C$ также равен $90^\circ$. Аналогично для второй пары углов:
$\angle B + \angle B = 180^\circ$
$2\angle B = 180^\circ$
$\angle B = 90^\circ$

Соответственно, $\angle D = \angle B = 90^\circ$.

Мы получили, что все углы ромба $ABCD$ равны $90^\circ$. Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если около ромба можно описать окружность, то сумма его равных противоположных углов должна быть $180^\circ$, что возможно только если каждый угол равен $90^\circ$. Ромб с прямыми углами является квадратом.

810* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD

∠A + ∠C = 180°. (1)

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. 273, а) — и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёхугольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. 273, б). В этом случае $\angle C=\frac{1}{2}\text{(◡DAB+◡EF)}$ (объясните почему), и, следовательно, $\angle C=\frac{1}{2}\text{◡DAB.}$ Так как $\angle A=\frac{1}{2}\text{◡BED,}$ то

Итак, мы получили, что ∠A+∠C>180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.

Задача представляет собой доказательство теоремы, обратной теореме о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника. Требуется доказать, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то около него можно описать окружность.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD сумма противоположных углов равна $180^\circ$, например, $ \angle A + \angle C = 180^\circ $. Докажем, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Через любые три вершины четырёхугольника, не лежащие на одной прямой, например, A, B и D, можно провести единственную окружность. Предположим, что четвёртая вершина C не лежит на этой окружности. Тогда она может находиться либо внутри круга, ограниченного этой окружностью, либо вне его. Рассмотрим оба случая.

В этом случае продолжим лучи BC и DC до пересечения с окружностью в точках E и F соответственно. В тексте задачи утверждается, что $ \angle C = \frac{1}{2}(\smile{DAB} + \smile{EF}) $ и предлагается это объяснить. Объяснение следующее: рассмотрим треугольник BCF. Угол $ \angle BCD $ (или $ \angle C $) является внешним углом для этого треугольника. По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $ \angle C = \angle CBF + \angle BFC $. Угол $ \angle CBF $ (тот же, что и $ \angle EBF $) — это вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу EF, следовательно, $ \angle CBF = \frac{1}{2} \mu(\smile{EF}) $. Угол $ \angle BFC $ (тот же, что и $ \angle BFD $) — это вписанный угол, опирающийся на дугу DAB. Таким образом, $ \angle BFC = \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) $. Подставив эти выражения, получаем: $ \angle C = \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) + \frac{1}{2} \mu(\smile{EF}) = \frac{1}{2}(\mu(\smile{DAB}) + \mu(\smile{EF})) $. Это и есть требуемое объяснение.

Поскольку точка C лежит внутри круга, точки E и F не совпадают с B и D, и дуга EF имеет положительную меру, то есть $ \mu(\smile{EF}) > 0 $. Отсюда следует, что $ \angle C > \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) $. Угол A ($ \angle BAD $) является вписанным и опирается на дугу BCD (в тексте задачи она обозначена как BED), поэтому $ \angle A = \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) $. Сложим угол A и неравенство для угла C: $ \angle A + \angle C > \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) + \frac{1}{2} \mu(\smile{DAB}) $. Дуги BCD и DAB вместе составляют полную окружность, их суммарная мера равна $ 360^\circ $. Следовательно, $ \angle A + \angle C > \frac{1}{2}(\mu(\smile{BCD}) + \mu(\smile{DAB})) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ $. Мы получили, что $ \angle A + \angle C > 180^\circ $, что противоречит условию задачи ($ \angle A + \angle C = 180^\circ $). Значит, наше предположение о том, что вершина C лежит внутри круга, неверно.

Этот случай в учебнике предлагается доказать аналогично. Проведём рассуждения подробно. Пусть вершина C лежит вне круга, проходящего через точки A, B и D. Тогда стороны BC и DC (или их продолжения, являющиеся секущими) пересекают окружность в точках E и F. Угол C ($ \angle BCD $) образован двумя секущими, выходящими из одной точки. Его величина равна половине разности мер дуг, которые эти секущие высекают на окружности: $ \angle C = \frac{1}{2}(\mu(\smile{BAD}) - \mu(\smile{EF})) $. Докажем эту формулу. Соединим точки B и F. В треугольнике BCF угол $ \angle BFD $ является внешним по отношению к вершине F. Поэтому $ \angle BFD = \angle FBC + \angle FCB $. Отсюда $ \angle C = \angle FCB = \angle BFD - \angle FBC $. Угол $ \angle BFD $ — вписанный, опирается на дугу BAD, значит $ \angle BFD = \frac{1}{2}\mu(\smile{BAD}) $. Угол $ \angle FBC $ (тот же, что и $ \angle FBE $) — вписанный, опирается на дугу FE, значит $ \angle FBC = \frac{1}{2}\mu(\smile{FE}) $. Следовательно, $ \angle C = \frac{1}{2}\mu(\smile{BAD}) - \frac{1}{2}\mu(\smile{FE}) = \frac{1}{2}(\mu(\smile{BAD}) - \mu(\smile{FE})) $.

Поскольку точка C лежит вне круга, дуга EF имеет положительную меру ($ \mu(\smile{EF}) > 0 $). Следовательно, $ \angle C < \frac{1}{2} \mu(\smile{BAD}) $. Угол A, как и в первом случае, равен $ \angle A = \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) $. Сложим угол A и неравенство для угла C: $ \angle A + \angle C < \frac{1}{2} \mu(\smile{BCD}) + \frac{1}{2} \mu(\smile{BAD}) = \frac{1}{2}(\mu(\smile{BCD}) + \mu(\smile{BAD})) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ $. Мы получили, что $ \angle A + \angle C < 180^\circ $, что также противоречит условию ($ \angle A + \angle C = 180^\circ $). Значит, наше предположение о том, что вершина C лежит вне круга, также неверно.

Поскольку вершина C не может лежать ни внутри, ни вне круга, проходящего через вершины A, B и D, она должна лежать на самой окружности. Таким образом, все четыре вершины четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности, а значит, около него можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано.

811 Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла AOB и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность.

Рассмотрим четырёхугольник, образованный точками $A$, $C$, $B$ и $O$. По условию задачи, через точку $A$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $OA$ угла $AOB$. Так как эта прямая проходит через точку $C$, то прямая $AC$ перпендикулярна лучу $OA$. Следовательно, внутренний угол четырёхугольника при вершине $A$, то есть $ \angle OAC $, является прямым:

$ \angle OAC = 90^\circ $.

Аналогично, через точку $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $OB$. Эта прямая также проходит через точку $C$, поэтому прямая $BC$ перпендикулярна лучу $OB$. Следовательно, внутренний угол четырёхугольника при вершине $B$, то есть $ \angle OBC $, является прямым:

$ \angle OBC = 90^\circ $.

В четырёхугольнике $ACBO$ углы при вершинах $O$ и $C$ являются противолежащими, так же как и углы при вершинах $A$ и $B$. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника, которое гласит, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $ 180^\circ $.

Рассмотрим сумму противолежащих углов $ \angle OAC $ и $ \angle OBC $:

$ \angle OAC + \angle OBC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.

Поскольку сумма противолежащих углов в четырёхугольнике $ACBO$ равна $ 180^\circ $, мы можем заключить, что около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

(В качестве альтернативы можно было рассмотреть другую пару противолежащих углов, $ \angle AOB $ и $ \angle ACB $. Сумма всех углов четырёхугольника равна $ 360^\circ $, поэтому $ \angle AOB + \angle ACB = 360^\circ - (\angle OAC + \angle OBC) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ $, что также доказывает утверждение.)

Ответ: Утверждение доказано. Около четырёхугольника ACBO можно описать окружность, так как сумма его противолежащих углов, например, $ \angle OAC $ и $ \angle OBC $, равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.