Страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

784 Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством описанного четырёхугольника, известным как теорема Пито. Она гласит, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Пусть стороны четырёхугольника последовательно равны $a$, $b$, $c$ и $d$. Тогда для пар противоположных сторон $(a, c)$ и $(b, d)$ справедливо равенство: $a + c = b + d$.

Из условия задачи известно, что сумма двух противоположных сторон равна 15 см. Допустим, $a + c = 15$ см. Тогда, согласно теореме, сумма двух других противоположных сторон также равна 15 см: $b + d = 15$ см.

Периметр ($P$) четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон. Вычислим его, сгруппировав слагаемые: $P = a + b + c + d = (a + c) + (b + d)$

Подставив известные значения, получим: $P = 15 \text{ см} + 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$

Ответ: 30 см.

785 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в который можно вписать окружность. Требуется доказать, что $ABCD$ является ромбом.

Воспользуемся свойством описанного четырехугольника (т.е. четырехугольника, в который можно вписать окружность). Это свойство гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашего параллелограмма $ABCD$ это свойство записывается следующим равенством: $AB + CD = BC + AD$

Теперь используем свойство параллелограмма, согласно которому его противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$

Подставим эти равенства из свойства параллелограмма в равенство для описанного четырехугольника: $AB + AB = BC + BC$

Упростим полученное выражение: $2 \cdot AB = 2 \cdot BC$

Разделив обе части уравнения на 2, мы получаем: $AB = BC$

Таким образом, мы доказали, что смежные стороны параллелограмма ($AB$ и $BC$) равны. Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то из равенства $AB = BC$ следует, что все четыре стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ — ромб. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то по свойству описанных четырехугольников суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Так как для параллелограмма $AB=CD$ и $BC=AD$, то равенство принимает вид $2 \cdot AB = 2 \cdot BC$, откуда $AB = BC$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

786 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Пусть дан произвольный выпуклый многоугольник $A_1A_2...A_n$, описанный около окружности. Это означает, что все его стороны касаются этой окружности, которая называется вписанной.

Обозначим:

• $S$ — площадь многоугольника.
• $P$ — периметр многоугольника.
• $O$ — центр вписанной окружности.
• $r$ — радиус вписанной окружности.
• $a_1, a_2, ..., a_n$ — длины сторон многоугольника: $a_1 = A_1A_2, a_2 = A_2A_3, ..., a_n = A_nA_1$.

Соединим центр вписанной окружности $O$ отрезками с каждой из вершин многоугольника: $A_1, A_2, ..., A_n$. В результате многоугольник будет разбит на $n$ треугольников: $\triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, ..., \triangle OA_nA_1$.

Площадь всего многоугольника $S$ будет равна сумме площадей этих треугольников:
$S = S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OA_2A_3} + ... + S_{\triangle OA_nA_1}$

Рассмотрим площадь любого из этих треугольников, например, $\triangle OA_1A_2$. Основанием этого треугольника является сторона многоугольника $A_1A_2$, длина которой равна $a_1$. Высота, проведенная из вершины $O$ к основанию $A_1A_2$, — это перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону многоугольника.

По определению описанного многоугольника, его сторона $A_1A_2$ является касательной к вписанной окружности. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, длина этой высоты в точности равна радиусу вписанной окружности $r$.

Площадь треугольника $\triangle OA_1A_2$ вычисляется как половина произведения его основания на высоту:
$S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot r$

Аналогично вычисляются площади всех остальных треугольников:
$S_{\triangle OA_2A_3} = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot r$
...
$S_{\triangle OA_nA_1} = \frac{1}{2} \cdot a_n \cdot r$

Теперь найдем общую площадь многоугольника $S$ как сумму площадей этих треугольников:
$S = \frac{1}{2} a_1 r + \frac{1}{2} a_2 r + ... + \frac{1}{2} a_n r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:
$S = \frac{1}{2} r (a_1 + a_2 + ... + a_n)$

Сумма в скобках представляет собой сумму длин всех сторон многоугольника, что является его периметром $P$:
$P = a_1 + a_2 + ... + a_n$

Подставив $P$ в выражение для площади $S$, получаем искомую формулу:
$S = \frac{1}{2} P \cdot r$

Таким образом, доказано, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: Доказательство основано на разбиении многоугольника на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. Площадь каждого такого треугольника равна $\frac{1}{2} a_i r$, где $a_i$ — сторона многоугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности. Суммируя площади всех треугольников, получаем формулу: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $S$ — площадь, $P$ — периметр. Что и требовалось доказать.

787 Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойством описанного четырехугольника и формулой для нахождения его площади.

Пусть стороны четырехугольника равны $a$, $b$, $c$ и $d$. По свойству описанного четырехугольника (известному как теорема Пиго), суммы длин его противоположных сторон равны. В условии сказано, что сумма двух противоположных сторон равна 12 см. Обозначим их как $a$ и $c$, тогда $a + c = 12$ см. Следовательно, сумма двух других противоположных сторон $b$ и $d$ также будет равна 12 см: $a + c = b + d = 12$ см.

Периметр $P$ четырехугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c + d = (a + c) + (b + d) = 12 + 12 = 24$ см.

Площадь $S$ любого описанного многоугольника (в том числе и четырехугольника) можно вычислить по формуле: $S = p \cdot r$, где $p$ — это полупериметр многоугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

Найдем полупериметр $p$, который равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

По условию задачи, радиус вписанной окружности $r = 5$ см. Теперь мы можем найти площадь четырехугольника, подставив известные значения в формулу: $S = 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 60$ см².

Ответ: 60 см².

788 Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см². Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.

Пусть стороны описанного четырехугольника равны $a, b, c$ и $d$. По условию задачи, сумма двух противоположных сторон равна 10 см. Допустим, $a+c = 10$ см.

Согласно свойству описанного четырехугольника (теорема Пито), суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма двух других противоположных сторон $b$ и $d$ также равна 10 см:
$b+d = a+c = 10$ см.

Периметр $P$ четырехугольника равен сумме длин всех его сторон:
$P = a+b+c+d = (a+c) + (b+d) = 10 + 10 = 20$ см.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Площадь $S$ любого описанного многоугольника вычисляется по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Из этой формулы выразим радиус $r$. Нам известно, что площадь $S = 12$ см?, а полупериметр $p = 10$ см.
$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{10} = 1,2$ см.

Ответ: 1,2 см.

789 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Для доказательства того, что в любой ромб можно вписать окружность, воспользуемся свойством многоугольников, в которые можно вписать окружность. Окружность можно вписать в выпуклый многоугольник тогда и только тогда, когда все биссектрисы его внутренних углов пересекаются в одной точке. Эта точка и будет центром вписанной окружности.

Рассмотрим произвольный ромб $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Вспомним основные свойства ромба:

1. Все стороны ромба равны ($AB = BC = CD = DA$).
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Из второго свойства следует, что диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle DAB$ и $\angle BCD$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $\angle ABC$ и $\angle CDA$.

Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, то в этой же точке пересекаются и все четыре биссектрисы углов ромба. Таким образом, мы нашли точку, которая является кандидатом на центр вписанной окружности.

Теперь нужно показать, что эта точка $O$ равноудалена от всех сторон ромба. Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$ (диагонали $AC$), расстояние от $O$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $O$ до стороны $AD$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$ (диагонали $BD$), расстояние от $O$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $O$ до стороны $BC$.

Объединив эти два утверждения, мы получаем, что расстояние от точки $O$ до сторон $AD$, $AB$ и $BC$ одинаково. Продолжая аналогичные рассуждения для углов $\angle C$ и $\angle D$, мы приходим к выводу, что точка $O$ равноудалена от всех четырех сторон ромба.

Это означает, что можно построить окружность с центром в точке $O$ (точке пересечения диагоналей) и радиусом, равным этому расстоянию. Эта окружность будет касаться всех четырех сторон ромба, то есть будет вписанной в него.

Таким образом, доказано, что в любой ромб можно вписать окружность.

Альтернативное доказательство:

Существует теорема, согласно которой в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Пусть сторона ромба равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

Проверим суммы противолежащих сторон:

$AB + CD = a + a = 2a$

$BC + DA = a + a = 2a$

Поскольку $AB + CD = BC + DA$, условие теоремы выполняется. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.