Страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

11 Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Рассмотрим окружность, вписанный в неё угол и полуокружность, на которую он опирается. Пусть концы полуокружности — это точки $A$ и $B$. Тогда отрезок $AB$ является диаметром окружности. Пусть вершина вписанного угла — это точка $C$, лежащая на этой полуокружности.

Задача состоит в том, чтобы доказать, что угол $\angle ACB$ является прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанных углов. Теорема о вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

В нашем случае вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Так как отрезок $AB$ является диаметром, то дуга $AB$ представляет собой полуокружность. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Соответственно, градусная мера полуокружности равна половине, то есть:

$\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Теперь, используя теорему о вписанном угле, мы можем вычислить градусную меру угла $\angle ACB$:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot (\text{градусная мера дуги } AB)$

Подставим значение градусной меры дуги $AB$:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$, является прямым. Таким образом, доказано, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Ответ: Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол, опирающийся на полуокружность, соответствует дуге в $180^\circ$. Следовательно, его величина составляет $\frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$, что означает, что этот угол — прямой.

12 Как измеряются углы между хордами?

Величина угла между двумя хордами окружности определяется положением их точки пересечения. Существует два основных случая.

1. Угол между пересекающимися хордами (точка пересечения внутри окружности)

Теорема: Угол, образованный двумя пересекающимися внутри окружности хордами, равен половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M. Угол ?AMC и вертикальный ему угол ?DMB высекают на окружности дуги AC и DB. Тогда величина угла ?AMC находится по формуле:

$?AMC = \frac{1}{2} (\smile{AC} + \smile{DB})$

Доказательство:

1. Проведем дополнительное построение: соединим точки A и D хордой AD. Мы получим треугольник AMD.

2. Угол ?AMC является внешним углом для треугольника AMD. Согласно свойству внешнего угла, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $?AMC = ?MAD + ?MDA$.

3. Угол ?MAD (или ?DAB) является вписанным углом, опирающимся на дугу DB. Следовательно, его мера равна половине градусной меры этой дуги: $?MAD = \frac{1}{2} \smile{DB}$.

4. Аналогично, угол ?MDA (или ?ADC) — это вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Его мера равна: $?MDA = \frac{1}{2} \smile{AC}$.

5. Подставив выражения для углов в формулу из пункта 2, получаем: $?AMC = \frac{1}{2} \smile{AC} + \frac{1}{2} \smile{DB} = \frac{1}{2} (\smile{AC} + \smile{DB})$.

Теорема доказана.

Ответ: Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме градусных мер дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между сторонами вертикального ему угла.

2. Угол между секущими, образованными хордами (точка пересечения вне окружности)

Если продолжения двух хорд (секущие) пересекаются в точке вне окружности, то образуется угол, величина которого также связана с дугами окружности.

Теорема: Угол, образованный двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен половине разности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых на окружности сторонами этого угла.

Пусть из точки P, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках B и A (в порядке P-B-A). Вторая секущая пересекает окружность в точках D и C (в порядке P-D-C). Нам нужно найти величину угла ?P (или ?APC). Этот угол высекает дальнюю дугу AC и ближнюю дугу BD.

Формула для вычисления угла:

$?P = \frac{1}{2} (\smile{AC} - \smile{BD})$

Доказательство:

1. Проведем дополнительное построение: соединим точки A и D хордой AD. Рассмотрим треугольник PAD.

2. Угол ?CDA является внешним углом для треугольника PAD (при вершине D). Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $?CDA = ?DPA + ?PAD$.

3. Выразим из этого равенства искомый угол ?DPA (он же ?P): $?P = ?CDA - ?PAD$.

4. Угол ?CDA — это вписанный угол, который опирается на дальнюю дугу AC. Его мера равна: $?CDA = \frac{1}{2} \smile{AC}$.

5. Угол ?PAD (он же ?BAD) — это вписанный угол, который опирается на ближнюю дугу BD. Его мера равна: $?PAD = \frac{1}{2} \smile{BD}$.

6. Подставив выражения для углов в формулу из пункта 3, получаем: $?P = \frac{1}{2} \smile{AC} - \frac{1}{2} \smile{BD} = \frac{1}{2} (\smile{AC} - \smile{BD})$.

Теорема доказана.

Ответ: Угол между продолжениями двух хорд (секущими), пересекающимися вне окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

13 Как измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают эту окружность?

Угол, вершина которого находится вне окружности, а стороны пересекают эту окружность (в виде двух секущих, или секущей и касательной, или двух касательных), измеряется половиной разности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

Рассмотрим случай, когда стороны угла являются двумя секущими.

Пусть дана окружность и точка P вне её. Через точку P проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках A, B и C, D соответственно, так что точки A и C лежат ближе к вершине P, чем точки B и D.

Таким образом, угол ∠P (или ∠BPD) высекает на окружности две дуги:

• ближнюю дугу AC (меньшую)
• дальнюю дугу BD (большую)

Величина угла ∠P вычисляется по формуле:

$\angle P = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } AC)$

Доказательство:

1. Соединим точки B и C хордой.

2. Рассмотрим треугольник ▵PBC. Угол ∠DBC является для него внешним углом при вершине B.

3. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle DBC = \angle BPC + \angle PCB$

4. Выразим из этого равенства искомый угол ∠BPC (то есть ∠P):

$\angle P = \angle DBC - \angle PCB$

5. Теперь заметим, что углы ∠DBC и ∠PCB (он же ∠BCA) являются вписанными в окружность.

• Вписанный угол ∠DBC опирается на дальнюю дугу BD. Следовательно, его величина равна половине градусной меры этой дуги: $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуга } BD$.
• Вписанный угол ∠PCB (или ∠BCA) опирается на ближнюю дугу AC. Следовательно, его величина равна половине градусной меры этой дуги: $\angle PCB = \frac{1}{2} \text{дуга } AC$.

6. Подставим выражения для этих углов в формулу для ∠P:

$\angle P = \frac{1}{2} \text{дуга } BD - \frac{1}{2} \text{дуга } AC = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } AC)$

Это и есть искомая формула. Аналогичные рассуждения применяются для случаев, когда одна или обе стороны угла являются касательными к окружности.

Ответ: Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают эту окружность, измеряется половиной разности градусных мер большей (дальней от вершины) и меньшей (ближней к вершине) дуг, заключенных между его сторонами. Формула для угла ∠P, образованного двумя секущими, которые высекают дуги $\text{дуга}_{большая}$ и $\text{дуга}_{меньшая}$, имеет вид: $\angle P = \frac{1}{2} (\text{дуга}_{большая} - \text{дуга}_{меньшая})$.

14 Как измеряется угол между касательной к окружности и хордой, один конец которой совпадает с точкой касания?

Угол, образованный касательной к окружности и хордой, которая проходит через точку касания, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла (то есть дуги, которую отсекает данная хорда).

Это утверждение является теоремой в планиметрии. Приведем ее развернутое доказательство.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. К ней в точке $A$ проведена касательная $AC$. Через точку касания $A$ проведена хорда $AB$. Угол, который мы рассматриваем, — это $\angle BAC$. Дуга, заключенная внутри этого угла, — это дуга $AB$. Нам необходимо доказать, что $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup AB$.

Рассмотрим три возможных случая расположения хорды $AB$:

1. Хорда $AB$ является диаметром.
В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OA$ (который является частью диаметра $AB$) перпендикулярен касательной $AC$. Таким образом, угол $\angle BAC$ является прямым, и его мера составляет $90^\circ$. Дуга $AB$ в данном случае — это полуокружность, и ее градусная мера равна $180^\circ$. Проверяем утверждение теоремы: $\frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Так как $\angle BAC = 90^\circ$, то равенство $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup AB$ выполняется.

2. Хорда $AB$ не является диаметром, и угол $\angle BAC$ — острый.
Проведем через точку касания $A$ диаметр $AD$. Согласно доказанному в первом случае, угол $\angle DAC = 90^\circ$. Угол $\angle BAC$ можно выразить как разность углов: $\angle BAC = \angle DAC - \angle DAB$. Угол $\angle DAB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $DB$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\angle DAB = \frac{1}{2} \cup DB$. Подставив это в наше выражение, получим: $\angle BAC = 90^\circ - \frac{1}{2} \cup DB$.
Дуга $AD$ является полуокружностью, ее градусная мера равна $180^\circ$. Дуга $AB$, отсекаемая хордой, равна разности дуг $AD$ и $DB$: $\cup AB = \cup AD - \cup DB = 180^\circ - \cup DB$. Из этого равенства выразим дугу $DB$: $\cup DB = 180^\circ - \cup AB$.
Теперь подставим полученное выражение для дуги $DB$ в формулу для угла $\angle BAC$:
$\angle BAC = 90^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - \cup AB) = 90^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cup AB$.
Теорема верна и для этого случая.

3. Хорда $AB$ не является диаметром, и угол $\angle BAC$ — тупой.
Рассмотрим смежный угол, образованный хордой $AB$ и другим лучом касательной, пусть это будет луч $AC'$. Угол $\angle BAC'$ будет тупым. Как и в предыдущем случае, проведем диаметр $AD$. Тогда $\angle DAC' = 90^\circ$. Рассматриваемый тупой угол можно представить как сумму углов: $\angle BAC' = \angle DAC' + \angle DAB$. Угол $\angle DAB$ — вписанный, опирающийся на дугу $DB$, следовательно $\angle DAB = \frac{1}{2} \cup DB$. Тогда $\angle BAC' = 90^\circ + \frac{1}{2} \cup DB$.
Дуга, заключенная внутри тупого угла $\angle BAC'$, — это большая дуга $ADB$. Ее градусная мера равна сумме мер дуги $AD$ (полуокружность) и дуги $DB$: $\cup ADB = \cup AD + \cup DB = 180^\circ + \cup DB$.
Найдем половину градусной меры этой дуги: $\frac{1}{2} \cup ADB = \frac{1}{2}(180^\circ + \cup DB) = 90^\circ + \frac{1}{2} \cup DB$.
Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\angle BAC' = \frac{1}{2} \cup ADB$.
Таким образом, теорема доказана для всех трех возможных случаев.

Ответ: Угол между касательной к окружности и хордой, один конец которой совпадает с точкой касания, измеряется половиной градусной меры дуги, отсекаемой этой хордой. Если угол равен $\alpha$, а градусная мера дуги равна $\beta$, то справедливо равенство: $\alpha = \frac{1}{2}\beta$.

15 Как измеряется угол между касательной и секущей, не проходящей через точку касания?

Угол между касательной и секущей, которые проведены к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, измеряется половиной разности угловых мер дуг, которые заключены между сторонами этого угла.

Для наглядности введем обозначения. Пусть из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (причем точка $A$ находится ближе к точке $P$). Угол, который нужно измерить, — это $\angle TPA$.

Стороны этого угла высекают на окружности две дуги:

• дальнюю (большую) дугу $TB$, заключенную между точкой касания $T$ и дальней точкой пересечения $B$.
• ближнюю (меньшую) дугу $TA$, заключенную между точкой касания $T$ и ближней точкой пересечения $A$.

Формула для вычисления величины угла $\angle TPA$ выглядит следующим образом:

$\angle TPA = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } TB) - m(\text{дуга } TA))$

где $m(\text{дуга})$ обозначает угловую меру соответствующей дуги.

Доказательство

1. Соединим хордой точки $A$ и $T$. В получившемся треугольнике $\triangle PAT$ сумма углов составляет $180^\circ$: $\angle TPA + \angle PAT + \angle ATP = 180^\circ$.
2. Угол $\angle ATP$ образован касательной $PT$ и хордой $AT$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине угловой меры дуги, которую он стягивает, то есть дуги $TA$. Таким образом, $\angle ATP = \frac{1}{2} m(\cup TA)$.
3. Угол $\angle PAT$ и вписанный угол $\angle BAT$ являются смежными (их сумма $180^\circ$), так как они лежат на одной прямой $PB$. Вписанный угол $\angle BAT$ опирается на дугу $TB$, следовательно, его величина равна половине угловой меры этой дуги: $\angle BAT = \frac{1}{2} m(\cup TB)$. Отсюда получаем выражение для $\angle PAT$: $\angle PAT = 180^\circ - \angle BAT = 180^\circ - \frac{1}{2} m(\cup TB)$.
4. Подставим найденные выражения для углов $\angle PAT$ и $\angle ATP$ в исходное равенство для суммы углов треугольника:

   $\angle TPA + (180^\circ - \frac{1}{2} m(\cup TB)) + \frac{1}{2} m(\cup TA) = 180^\circ$

5. Упрощая это уравнение путем вычитания $180^\circ$ из обеих частей, получаем:

   $\angle TPA - \frac{1}{2} m(\cup TB) + \frac{1}{2} m(\cup TA) = 0$

6. Выразим искомый угол $\angle TPA$ и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

   $\angle TPA = \frac{1}{2} m(\cup TB) - \frac{1}{2} m(\cup TA) = \frac{1}{2} (m(\cup TB) - m(\cup TA))$

   Теорема доказана.

Ответ: Угол между касательной и секущей, не проходящей через точку касания, измеряется половиной разности угловых мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

16 Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности?

Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она находится внутри многоугольника и касается всех его сторон. Это означает, что каждая сторона многоугольника является касательной к этой окружности в единственной точке.

Основные свойства:

• Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон многоугольника. Это расстояние равно радиусу вписанной окружности.
• Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника.
• Не в любой многоугольник можно вписать окружность. Условием возможности вписать окружность в выпуклый многоугольник является то, что все биссектрисы его внутренних углов должны пересекаться в одной точке. Например, в любой треугольник можно вписать окружность. Для четырехугольника таким условием является равенство сумм длин его противоположных сторон.

Ответ: Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Какой многоугольник называется описанным около окружности?

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Фактически, это та же геометрическая конфигурация, что и в первом определении, но рассматриваемая со стороны многоугольника. Если окружность вписана в многоугольник, то этот многоугольник описан около этой окружности.

Основные свойства:

• Все стороны такого многоугольника являются касательными к одной и той же окружности, расположенной внутри него.
• Для того чтобы многоугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы в него можно было вписать окружность.
• Примерами описанных многоугольников являются: любой треугольник, ромб, квадрат, дельтоид, любой правильный многоугольник. Выпуклый четырехугольник является описанным тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны ($a+c=b+d$).

Ответ: Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

17 Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности?

Стороны четырёхугольника, описанного около окружности, обладают свойством, известным как теорема Пито. Она гласит, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Доказательство:

Пусть в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Обозначим точки касания этой окружности со сторонами $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
1. $AK = AN$ (касательные из точки A)
2. $BK = BL$ (касательные из точки B)
3. $CL = CM$ (касательные из точки C)
4. $DL = DM$ (касательные из точки D)

Длины сторон четырёхугольника можно представить как суммы длин этих отрезков:
$AB = AK + KB$
$BC = BL + LC$
$CD = CM + MD$
$DA = DN + NA$

Теперь найдём суммы длин противолежащих сторон:
Сумма первой пары сторон: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)$
Сумма второй пары сторон: $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA)$

Используя равенства отрезков касательных, преобразуем выражение для суммы $BC + DA$:
$BC + DA = (BK) + (CM) + (DM) + (AK)$

Перегруппируем слагаемые в том же порядке, что и в выражении для $AB + CD$:
$BC + DA = (AK + KB) + (CM + MD)$

Таким образом, мы видим, что правые части выражений для сумм противолежащих сторон полностью совпадают. Следовательно, равны и левые части:
$AB + CD = BC + DA$

Свойство доказано. Важно отметить, что верно и обратное утверждение (признак описанного четырёхугольника): если суммы длин противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Ответ: Суммы длин противолежащих сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.

18 Какая окружность называется описанной около многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Какая окружность называется описанной около многоугольника?

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Другими словами, все вершины многоугольника лежат на данной окружности.
Центр описанной окружности — это точка, равноудалённая от всех вершин многоугольника. Он находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Не около всякого многоугольника можно описать окружность. Многоугольник, около которого это можно сделать, называется вписанным в окружность (или циклическим). Например, около любого треугольника всегда можно описать окружность. Для выпуклого четырёхугольника это возможно тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
Ответ: Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на этой окружности.

Какой многоугольник называется вписанным в окружность?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
Это определение является, по сути, другим взглядом на то же самое геометрическое свойство. Если окружность описана около многоугольника, то этот многоугольник вписан в данную окружность, и наоборот.
Все вершины вписанного многоугольника находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности, и это расстояние равно её радиусу. Любой треугольник, прямоугольник или правильный многоугольник всегда можно вписать в окружность.
Ответ: Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

19 Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность?

Основное свойство, которым обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность, заключается в том, что сумма его противолежащих (противоположных) углов всегда равна $180$ градусам.

Пусть в окружность вписан четырёхугольник $ABCD$. Это означает, что все его вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности. Тогда для его углов справедливы следующие соотношения:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Это свойство можно доказать, используя теорему о вписанном угле. Теорема гласит, что величина вписанного в окружность угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Рассмотрим пару противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$.

Угол $\angle A$ (или $\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$. Следовательно, его величина равна $\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BCD$.

Противоположный ему угол $\angle C$ (или $\angle BCD$) опирается на дугу $DAB$. Его величина равна $\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DAB$.

Теперь найдем сумму этих углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BCD + \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DAB = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB)$.

Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе образуют полную окружность, градусная мера которой составляет $360^\circ$.
Таким образом, $\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB = 360^\circ$.

Подставив это значение в формулу для суммы углов, получаем:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

Доказательство для второй пары противоположных углов, $\angle B$ и $\angle D$, проводится абсолютно аналогично.

Ответ: Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.

796 Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом (см. п. 41).

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и их секущая c. Окружность с центром в точке O касается этих трех прямых. Пусть прямая c пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B. Требуется доказать, что отрезок AB виден из центра O под прямым углом, то есть, что $?AOB = 90°$.

Точка A является точкой пересечения двух касательных к окружности (прямых a и c). По свойству, центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч OA является биссектрисой внутреннего угла, образованного в вершине A секущей c и прямой a.

Аналогично, точка B является точкой пересечения касательных b и c. Следовательно, луч OB является биссектрисой внутреннего угла в вершине B, образованного секущей c и прямой b.

Внутренние углы при вершинах A и B, лежащие по одну сторону от секущей c, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых a и b и секущей c. По свойству параллельных прямых, сумма таких углов равна $180°$.

Обозначим эти углы как $?\alpha$ (при вершине A) и $?\beta$ (при вершине B). Тогда $?\alpha + ?\beta = 180°$.

Поскольку OA и OB — биссектрисы этих углов, то углы в треугольнике $AOB$ равны: $?OAB = \frac{1}{2}?\alpha$ и $?OBA = \frac{1}{2}?\beta$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $AOB$:

$?AOB + ?OAB + ?OBA = 180°$

Подставим в это уравнение выражения для $?OAB$ и $?OBA$:

$?AOB + \frac{1}{2}?\alpha + \frac{1}{2}?\beta = 180°$

$?AOB + \frac{1}{2}(?\alpha + ?\beta) = 180°$

Зная, что $?\alpha + ?\beta = 180°$, получаем:

$?AOB + \frac{1}{2}(180°) = 180°$

$?AOB + 90° = 180°$

$?AOB = 180° - 90° = 90°$

Таким образом, доказано, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

797 Две окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная МK. а) Докажите, что ∠KАМ = 90°; б) найдите длину отрезка МK.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей радиусов $r$ и $R$ соответственно. Первая окружность касается общей касательной $MK$ в точке $M$, а вторая — в точке $K$. Окружности касаются друг друга внешним образом в точке $A$.

а) Докажите, что ?KAM = 90°

Проведем через точку $A$ общую касательную к обеим окружностям. Пусть эта касательная пересекает прямую $MK$ в точке $P$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Для первой окружности (с центром $O_1$) из точки $P$ проведены касательные $PM$ и $PA$. Следовательно, их длины равны: $PM = PA$. Это означает, что треугольник $PAM$ является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle PAM = \angle PMA$.

Аналогично для второй окружности (с центром $O_2$) из точки $P$ проведены касательные $PK$ и $PA$. Следовательно, $PK = PA$. Треугольник $PAK$ также является равнобедренным, и $\angle PAK = \angle PKA$.

Из равенств $PM = PA$ и $PK = PA$ следует, что $PM = PK = PA$. Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $MK$, и все три точки $M$, $A$, $K$ лежат на окружности с центром в точке $P$ и радиусом $PA$.

В таком случае, отрезок $MK$ является диаметром этой окружности, а треугольник $MAK$ вписан в нее. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle KAM = 90^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) найдите длину отрезка MK.

Рассмотрим фигуру, образованную центрами окружностей $O_1, O_2$ и точками касания $M, K$.

Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = r + R$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1M \perp MK$ и $O_2K \perp MK$. Это означает, что $O_1M$ и $O_2K$ параллельны друг другу, а фигура $MKO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1M = r$ и $O_2K = R$.

Проведем из центра меньшей окружности $O_1$ высоту трапеции $O_1H$ на большее основание $O_2K$. Точка $H$ лежит на отрезке $O_2K$.

Получившийся четырехугольник $MKHO_1$ является прямоугольником, так как все его углы прямые. Отсюда следует, что $MK = O_1H$ и $KH = O_1M = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1HO_2$ с гипотенузой $O_1O_2$. Его катеты равны:

• $O_1H = MK$
• $O_2H = O_2K - KH = R - r$

По теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1H^2 + O_2H^2$.

Подставим известные значения: $(r+R)^2 = MK^2 + (R-r)^2$

Выразим $MK^2$: $MK^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2$

Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ или раскрыв скобки: $MK^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2) = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2 = 4Rr$

Отсюда находим длину отрезка $MK$: $MK = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$

Ответ: $2\sqrt{Rr}$.

798 Даны две окружности радиусов r и R. Расстояние между их центрами равно d (d > R + r). Найдите отрезок их общей а) внешней касательной; б) внутренней касательной.

а) внешняя касательная

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R$ и $r$ — их радиусы соответственно (для определенности, пусть $R \ge r$). Расстояние между центрами $O_1O_2 = d$. Пусть $AB$ — отрезок общей внешней касательной, где $A$ — точка касания на первой окружности (с радиусом $R$), а $B$ — на второй (с радиусом $r$). Мы ищем длину отрезка $AB$.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Из этого следует, что радиусы $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу ($O_1A \parallel O_2B$). Таким образом, фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$ и боковой стороной $AB$, перпендикулярной основаниям.

Чтобы найти длину $AB$, используем дополнительное построение. Проведем из центра меньшей окружности $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$ в точке $C$. Так как $O_2C \parallel AB$ и $AC \parallel O_2B$, фигура $CABO_2$ является прямоугольником. Отсюда следует, что $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным, поскольку $O_2C \perp O_1C$ (так как $O_2C \parallel AB$ и $AB \perp O_1A$). Найдем длины его сторон:
• Гипотенуза: $O_1O_2 = d$.
• Катет $O_1C$: $O_1C = O_1A - AC = R - r$.
• Катет $CO_2$: его длина равна искомой длине $AB$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$
Подставим известные значения:
$d^2 = (R - r)^2 + (AB)^2$
Выразим $(AB)^2$:
$(AB)^2 = d^2 - (R - r)^2$
Следовательно, длина отрезка общей внешней касательной равна:
$AB = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$

Ответ: $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$

б) внутренняя касательная

Аналогично, пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей с радиусами $R$ и $r$, и расстояние между ними $O_1O_2 = d$. Пусть $AB$ — отрезок общей внутренней касательной, где $A$ и $B$ — точки касания.

Радиусы $O_1A$ и $O_2B$, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательной $AB$, то есть $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Внутренняя касательная пересекает линию центров $O_1O_2$, поэтому центры окружностей лежат по разные стороны от касательной.

Для нахождения длины $AB$ снова используем дополнительное построение. Проведем из центра $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$. Эта прямая пересечет продолжение радиуса $O_1A$ за точку $A$ в некоторой точке $C$. Фигура $ABO_2C$ является прямоугольником, поэтому $AB = O_2C$ и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (так как $O_2C \parallel AB$ и $O_1C \perp AB$). Найдем длины его сторон:
• Гипотенуза: $O_1O_2 = d$.
• Катет $O_1C$: $O_1C = O_1A + AC = R + r$.
• Катет $O_2C$: его длина равна искомой длине $AB$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (O_2C)^2$
Подставим известные значения:
$d^2 = (R + r)^2 + (AB)^2$
Выразим $(AB)^2$:
$(AB)^2 = d^2 - (R + r)^2$
Следовательно, длина отрезка общей внутренней касательной равна:
$AB = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$
Заданное в условии $d > R + r$ гарантирует, что выражение под корнем положительно, а значит, общая внутренняя касательная существует.

Ответ: $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$

799 Диаметр АА₁ окружности перпендикулярен к хорде ВВ₁. Докажите, что градусные меры дуг AB и AB₁, меньших полуокружности, равны.

Пусть $O$ — центр окружности. Поскольку $AA_1$ — это диаметр, центр окружности $O$ лежит на отрезке $AA_1$. Пусть точка $H$ — это точка пересечения диаметра $AA_1$ и хорды $BB_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBB_1$. Стороны $OB$ и $OB_1$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому $OB = OB_1$. Это означает, что треугольник $\triangle OBB_1$ является равнобедренным с основанием $BB_1$.

По условию задачи, диаметр $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$. Следовательно, $OH \perp BB_1$. Отрезок $OH$ является высотой равнобедренного треугольника $\triangle OBB_1$, проведенной из вершины $O$ к основанию $BB_1$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Значит, $OH$ делит угол $\angle BOB_1$ пополам. Таким образом, $\angle BOH = \angle B_1OH$.

Поскольку точка $H$ лежит на диаметре $AA_1$, то углы $\angle BOH$ и $\angle B_1OH$ совпадают с центральными углами $\angle AOB$ и $\angle AOB_1$ соответственно (так как речь идет о дугах, меньших полуокружности). Следовательно, $\angle AOB = \angle AOB_1$.

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Так как центральные углы $\angle AOB$ и $\angle AOB_1$, стягивающие дуги $AB$ и $AB_1$, равны, то и градусные меры самих дуг также равны.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство градусных мер дуг $AB$ и $AB_1$ следует из равенства соответствующих им центральных углов $\angle AOB$ и $\angle AOB_1$. Это равенство, в свою очередь, доказывается через свойство высоты равнобедренного треугольника $\triangle OBB_1$, которая также является и его биссектрисой.

800 Точки A, B, C и D лежат на окружности. Докажите, что если ◡AB = ◡CD, то AB = CD.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точки $A, B, C$ и $D$ по условию лежат на этой окружности.

По условию задачи, дуга $AB$ равна дуге $CD$, что записывается как $\cup AB = \cup CD$. Требуется доказать, что хорда $AB$ равна хорде $CD$.

Для доказательства рассмотрим два треугольника, которые образованы радиусами, проведенными к концам хорд $AB$ и $CD$: это треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Стороны $OA, OB$ в $\triangle AOB$ и стороны $OC, OD$ в $\triangle COD$ являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, все они равны: $OA = OB = OC = OD = R$.

2. Угол $\angle AOB$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $\cup AB$. Его величина равна градусной мере этой дуги. Аналогично, центральный угол $\angle COD$ опирается на дугу $\cup CD$, и его величина равна градусной мере дуги $\cup CD$.

Поскольку по условию дано, что $\cup AB = \cup CD$, то и центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны между собой: $\angle AOB = \angle COD$.

3. Теперь сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Мы имеем:
- $OA = OC$ (как радиусы);
- $OB = OD$ (как радиусы);
- $\angle AOB = \angle COD$ (потому что они опираются на равные дуги).

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle AOB$ соответствует стороне $CD$ в $\triangle COD$. Следовательно, их длины равны: $AB = CD$.

Ответ: Утверждение доказано. В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами.

801 Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла СВD не зависит от выбора прямой m.

Доказательство:

Пусть нам даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точках A и B. Пусть m – произвольная прямая, проходящая через точку A и пересекающая окружность $\omega_1$ в точке C, а окружность $\omega_2$ в точке D (в случаях, когда прямая касается одной из окружностей в точке A, соответствующая точка пересечения совпадает с A). Мы хотим доказать, что величина угла $\angle CBD$ не зависит от выбора прямой m.

Для доказательства выберем две различные прямые, $m_1$ и $m_2$, проходящие через точку A.

Пусть прямая $m_1$ пересекает окружность $\omega_1$ в точке C, а окружность $\omega_2$ в точке D.Пусть прямая $m_2$ пересекает окружность $\omega_1$ в точке C', а окружность $\omega_2$ в точке D'.

Наша задача — доказать, что $\angle CBD = \angle C'BD'$.

Рассмотрим окружность $\omega_1$. Точки A, B, C и C' лежат на этой окружности. Угол $\angle CAC'$ — это угол между прямыми $m_1$ и $m_2$. Углы $\angle CAC'$ и $\angle CBC'$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу CC'. Следовательно, их величины равны:

$\angle CBC' = \angle CAC'$

Теперь рассмотрим окружность $\omega_2$. Точки A, B, D и D' лежат на этой окружности. Угол $\angle DAD'$ — это также угол между прямыми $m_1$ и $m_2$. Углы $\angle DAD'$ и $\angle DBD'$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу DD'. Следовательно, их величины равны:

$\angle DBD' = \angle DAD'$

Так как $\angle CAC'$ и $\angle DAD'$ — это один и тот же угол (угол между прямыми $m_1$ и $m_2$), мы можем заключить, что:

$\angle CBC' = \angle DBD'$

Это равенство означает, что поворот луча BC вокруг точки B на угол $\angle CBC'$ совпадает с поворотом луча BD вокруг точки B на угол $\angle DBD'$. Другими словами, луч BC' получается из луча BC таким же поворотом вокруг точки B, как и луч BD' из луча BD.

Угол $\angle CBD$ — это угол между лучами BC и BD.Угол $\angle C'BD'$ — это угол между лучами BC' и BD'.

Поскольку лучи BC' и BD' получаются из лучей BC и BD соответственно путем поворота на один и тот же угол ($\angle CBC' = \angle DBD'$) в одном и том же направлении вокруг точки B, угол между ними сохраняется. Таким образом,

$\angle CBD = \angle C'BD'$

Так как мы выбрали прямые $m_1$ и $m_2$ произвольно, это доказывает, что величина угла $\angle CBD$ не зависит от выбора прямой m, проходящей через точку A.

Ответ: Величина угла $\angle CBD$ действительно не зависит от выбора прямой m, что и требовалось доказать.

802 Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Через точки С и D проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке K. Докажите, что: а) величина угла СKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.

а)

Обозначим первую окружность как $\omega_1$, а вторую — как $\omega_2$. Точки $A$ и $B$ — точки их пересечения. Прямая $m$ проходит через точку $A$ и пересекает $\omega_1$ в точке $C$ и $\omega_2$ в точке $D$. $KC$ — касательная к $\omega_1$ в точке $C$, а $KD$ — касательная к $\omega_2$ в точке $D$.

Рассмотрим два постоянных угла. Угол $\angle BCA$ является вписанным углом в окружность $\omega_1$ и опирается на фиксированную хорду $AB$. Следовательно, его величина не зависит от положения точки $C$ на окружности (пока $C$ находится на одной и той же дуге $AB$), а значит, не зависит от выбора прямой $m$. Аналогично, угол $\angle BDA$ вписан в окружность $\omega_2$ и опирается на ту же хорду $AB$, поэтому его величина также постоянна.

Теперь рассмотрим $\triangle CKD$. Сумма его углов равна $180^\circ$, откуда $\angle CKD = 180^\circ - (\angle KCD + \angle KDC)$.

По теореме об угле между касательной и хордой для окружности $\omega_1$, угол $\angle KCA$ (он же $\angle KCD$) равен вписанному углу $\angle ABC$, который опирается на хорду $AC$. Итак, $\angle KCD = \angle ABC$.

Аналогично для окружности $\omega_2$, угол $\angle KDA$ (он же $\angle KDC$) равен вписанному углу $\angle ABD$, который опирается на хорду $AD$. Итак, $\angle KDC = \angle ABD$.

Подставив эти равенства в формулу для $\angle CKD$, получаем: $\angle CKD = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ABD) = 180^\circ - \angle CBD$.

Теперь рассмотрим $\triangle BCD$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$. Отсюда $\angle CBD = 180^\circ - (\angle BCD + \angle BDC)$. Поскольку точки $C, A, D$ лежат на одной прямой, то $\angle BCD = \angle BCA$ и $\angle BDC = \angle BDA$. Следовательно, $\angle CBD = 180^\circ - (\angle BCA + \angle BDA)$.

Теперь подставим найденное выражение для $\angle CBD$ в формулу для $\angle CKD$: $\angle CKD = 180^\circ - (180^\circ - (\angle BCA + \angle BDA)) = \angle BCA + \angle BDA$.

Так как величины углов $\angle BCA$ и $\angle BDA$ постоянны и не зависят от выбора прямой $m$, то их сумма, равная $\angle CKD$, также является постоянной величиной.

Ответ: Величина угла $CKD$ равна сумме постоянных углов $\angle BCA$ и $\angle BDA$ и, следовательно, не зависит от выбора прямой $m$.

б)

Чтобы доказать, что четырёхугольник $BCKD$ можно вписать в окружность, достаточно доказать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

В ходе решения пункта а) мы получили соотношение, связывающее углы $\angle CKD$ и $\angle CBD$: $\angle CKD = 180^\circ - \angle CBD$.

Перенеся $\angle CBD$ в левую часть равенства, получим: $\angle CKD + \angle CBD = 180^\circ$.

Сумма противоположных углов $\angle CKD$ и $\angle CBD$ в четырёхугольнике $BCKD$ равна $180^\circ$. Это является достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был вписанным в окружность.

Ответ: Четырёхугольник $BCKD$ можно вписать в окружность, так как сумма его противоположных углов $\angle CKD$ и $\angle CBD$ равна $180^\circ$.