Номер 798, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 798, страница 210.

798 Даны две окружности радиусов r и R. Расстояние между их центрами равно d (d > R + r). Найдите отрезок их общей а) внешней касательной; б) внутренней касательной.

а) внешняя касательная

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R$ и $r$ — их радиусы соответственно (для определенности, пусть $R \ge r$). Расстояние между центрами $O_1O_2 = d$. Пусть $AB$ — отрезок общей внешней касательной, где $A$ — точка касания на первой окружности (с радиусом $R$), а $B$ — на второй (с радиусом $r$). Мы ищем длину отрезка $AB$.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Из этого следует, что радиусы $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу ($O_1A \parallel O_2B$). Таким образом, фигура $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$ и боковой стороной $AB$, перпендикулярной основаниям.

Чтобы найти длину $AB$, используем дополнительное построение. Проведем из центра меньшей окружности $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$ в точке $C$. Так как $O_2C \parallel AB$ и $AC \parallel O_2B$, фигура $CABO_2$ является прямоугольником. Отсюда следует, что $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным, поскольку $O_2C \perp O_1C$ (так как $O_2C \parallel AB$ и $AB \perp O_1A$). Найдем длины его сторон:
• Гипотенуза: $O_1O_2 = d$.
• Катет $O_1C$: $O_1C = O_1A - AC = R - r$.
• Катет $CO_2$: его длина равна искомой длине $AB$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$
Подставим известные значения:
$d^2 = (R - r)^2 + (AB)^2$
Выразим $(AB)^2$:
$(AB)^2 = d^2 - (R - r)^2$
Следовательно, длина отрезка общей внешней касательной равна:
$AB = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$

Ответ: $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$

б) внутренняя касательная

Аналогично, пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей с радиусами $R$ и $r$, и расстояние между ними $O_1O_2 = d$. Пусть $AB$ — отрезок общей внутренней касательной, где $A$ и $B$ — точки касания.

Радиусы $O_1A$ и $O_2B$, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательной $AB$, то есть $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Внутренняя касательная пересекает линию центров $O_1O_2$, поэтому центры окружностей лежат по разные стороны от касательной.

Для нахождения длины $AB$ снова используем дополнительное построение. Проведем из центра $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$. Эта прямая пересечет продолжение радиуса $O_1A$ за точку $A$ в некоторой точке $C$. Фигура $ABO_2C$ является прямоугольником, поэтому $AB = O_2C$ и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (так как $O_2C \parallel AB$ и $O_1C \perp AB$). Найдем длины его сторон:
• Гипотенуза: $O_1O_2 = d$.
• Катет $O_1C$: $O_1C = O_1A + AC = R + r$.
• Катет $O_2C$: его длина равна искомой длине $AB$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (O_2C)^2$
Подставим известные значения:
$d^2 = (R + r)^2 + (AB)^2$
Выразим $(AB)^2$:
$(AB)^2 = d^2 - (R + r)^2$
Следовательно, длина отрезка общей внутренней касательной равна:
$AB = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$
Заданное в условии $d > R + r$ гарантирует, что выражение под корнем положительно, а значит, общая внутренняя касательная существует.

Ответ: $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$