Номер 19, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 19, страница 210.

19 Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность?

Основное свойство, которым обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность, заключается в том, что сумма его противолежащих (противоположных) углов всегда равна $180$ градусам.

Пусть в окружность вписан четырёхугольник $ABCD$. Это означает, что все его вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности. Тогда для его углов справедливы следующие соотношения:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Это свойство можно доказать, используя теорему о вписанном угле. Теорема гласит, что величина вписанного в окружность угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Рассмотрим пару противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$.

Угол $\angle A$ (или $\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$. Следовательно, его величина равна $\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BCD$.

Противоположный ему угол $\angle C$ (или $\angle BCD$) опирается на дугу $DAB$. Его величина равна $\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DAB$.

Теперь найдем сумму этих углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BCD + \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DAB = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB)$.

Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе образуют полную окружность, градусная мера которой составляет $360^\circ$.
Таким образом, $\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB = 360^\circ$.

Подставив это значение в формулу для суммы углов, получаем:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

Доказательство для второй пары противоположных углов, $\angle B$ и $\angle D$, проводится абсолютно аналогично.

Ответ: Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.