Номер 13, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 13, страница 210.

13 Как измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают эту окружность?

Угол, вершина которого находится вне окружности, а стороны пересекают эту окружность (в виде двух секущих, или секущей и касательной, или двух касательных), измеряется половиной разности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

Рассмотрим случай, когда стороны угла являются двумя секущими.

Пусть дана окружность и точка P вне её. Через точку P проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках A, B и C, D соответственно, так что точки A и C лежат ближе к вершине P, чем точки B и D.

Таким образом, угол ∠P (или ∠BPD) высекает на окружности две дуги:

• ближнюю дугу AC (меньшую)
• дальнюю дугу BD (большую)

Величина угла ∠P вычисляется по формуле:

$\angle P = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } AC)$

Доказательство:

1. Соединим точки B и C хордой.

2. Рассмотрим треугольник ▵PBC. Угол ∠DBC является для него внешним углом при вершине B.

3. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle DBC = \angle BPC + \angle PCB$

4. Выразим из этого равенства искомый угол ∠BPC (то есть ∠P):

$\angle P = \angle DBC - \angle PCB$

5. Теперь заметим, что углы ∠DBC и ∠PCB (он же ∠BCA) являются вписанными в окружность.

• Вписанный угол ∠DBC опирается на дальнюю дугу BD. Следовательно, его величина равна половине градусной меры этой дуги: $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуга } BD$.
• Вписанный угол ∠PCB (или ∠BCA) опирается на ближнюю дугу AC. Следовательно, его величина равна половине градусной меры этой дуги: $\angle PCB = \frac{1}{2} \text{дуга } AC$.

6. Подставим выражения для этих углов в формулу для ∠P:

$\angle P = \frac{1}{2} \text{дуга } BD - \frac{1}{2} \text{дуга } AC = \frac{1}{2} (\text{дуга } BD - \text{дуга } AC)$

Это и есть искомая формула. Аналогичные рассуждения применяются для случаев, когда одна или обе стороны угла являются касательными к окружности.

Ответ: Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают эту окружность, измеряется половиной разности градусных мер большей (дальней от вершины) и меньшей (ближней к вершине) дуг, заключенных между его сторонами. Формула для угла ∠P, образованного двумя секущими, которые высекают дуги $\text{дуга}_{большая}$ и $\text{дуга}_{меньшая}$, имеет вид: $\angle P = \frac{1}{2} (\text{дуга}_{большая} - \text{дуга}_{меньшая})$.