Номер 14, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 14, страница 210.

14 Как измеряется угол между касательной к окружности и хордой, один конец которой совпадает с точкой касания?

Угол, образованный касательной к окружности и хордой, которая проходит через точку касания, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла (то есть дуги, которую отсекает данная хорда).

Это утверждение является теоремой в планиметрии. Приведем ее развернутое доказательство.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. К ней в точке $A$ проведена касательная $AC$. Через точку касания $A$ проведена хорда $AB$. Угол, который мы рассматриваем, — это $\angle BAC$. Дуга, заключенная внутри этого угла, — это дуга $AB$. Нам необходимо доказать, что $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup AB$.

Рассмотрим три возможных случая расположения хорды $AB$:

1. Хорда $AB$ является диаметром.
В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OA$ (который является частью диаметра $AB$) перпендикулярен касательной $AC$. Таким образом, угол $\angle BAC$ является прямым, и его мера составляет $90^\circ$. Дуга $AB$ в данном случае — это полуокружность, и ее градусная мера равна $180^\circ$. Проверяем утверждение теоремы: $\frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Так как $\angle BAC = 90^\circ$, то равенство $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup AB$ выполняется.

2. Хорда $AB$ не является диаметром, и угол $\angle BAC$ — острый.
Проведем через точку касания $A$ диаметр $AD$. Согласно доказанному в первом случае, угол $\angle DAC = 90^\circ$. Угол $\angle BAC$ можно выразить как разность углов: $\angle BAC = \angle DAC - \angle DAB$. Угол $\angle DAB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $DB$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\angle DAB = \frac{1}{2} \cup DB$. Подставив это в наше выражение, получим: $\angle BAC = 90^\circ - \frac{1}{2} \cup DB$.
Дуга $AD$ является полуокружностью, ее градусная мера равна $180^\circ$. Дуга $AB$, отсекаемая хордой, равна разности дуг $AD$ и $DB$: $\cup AB = \cup AD - \cup DB = 180^\circ - \cup DB$. Из этого равенства выразим дугу $DB$: $\cup DB = 180^\circ - \cup AB$.
Теперь подставим полученное выражение для дуги $DB$ в формулу для угла $\angle BAC$:
$\angle BAC = 90^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ - \cup AB) = 90^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \cup AB$.
Теорема верна и для этого случая.

3. Хорда $AB$ не является диаметром, и угол $\angle BAC$ — тупой.
Рассмотрим смежный угол, образованный хордой $AB$ и другим лучом касательной, пусть это будет луч $AC'$. Угол $\angle BAC'$ будет тупым. Как и в предыдущем случае, проведем диаметр $AD$. Тогда $\angle DAC' = 90^\circ$. Рассматриваемый тупой угол можно представить как сумму углов: $\angle BAC' = \angle DAC' + \angle DAB$. Угол $\angle DAB$ — вписанный, опирающийся на дугу $DB$, следовательно $\angle DAB = \frac{1}{2} \cup DB$. Тогда $\angle BAC' = 90^\circ + \frac{1}{2} \cup DB$.
Дуга, заключенная внутри тупого угла $\angle BAC'$, — это большая дуга $ADB$. Ее градусная мера равна сумме мер дуги $AD$ (полуокружность) и дуги $DB$: $\cup ADB = \cup AD + \cup DB = 180^\circ + \cup DB$.
Найдем половину градусной меры этой дуги: $\frac{1}{2} \cup ADB = \frac{1}{2}(180^\circ + \cup DB) = 90^\circ + \frac{1}{2} \cup DB$.
Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\angle BAC' = \frac{1}{2} \cup ADB$.
Таким образом, теорема доказана для всех трех возможных случаев.

Ответ: Угол между касательной к окружности и хордой, один конец которой совпадает с точкой касания, измеряется половиной градусной меры дуги, отсекаемой этой хордой. Если угол равен $\alpha$, а градусная мера дуги равна $\beta$, то справедливо равенство: $\alpha = \frac{1}{2}\beta$.