Номер 10, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 10, страница 209.

10 Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о вписанном угле. Теорема гласит, что величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Рассмотрим окружность. Пусть на этой окружности лежат точки $A$ и $B$, которые определяют дугу $\stackrel{\frown}{AB}$.

Пусть $\angle ACB$ и $\angle ADB$ — это два произвольных вписанных угла, которые опираются на одну и ту же дугу $\stackrel{\frown}{AB}$. Это означает, что вершины углов, точки $C$ и $D$, также лежат на окружности (на дуге, дополняющей дугу $\stackrel{\frown}{AB}$ до полной окружности).

Согласно теореме о вписанном угле, величина угла $\angle ACB$ равна половине градусной меры дуги $\stackrel{\frown}{AB}$. Запишем это в виде формулы:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{величина дуги } \stackrel{\frown}{AB}$

Аналогично, для угла $\angle ADB$, который опирается на ту же самую дугу $\stackrel{\frown}{AB}$, его величина будет равна:
$\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot \text{величина дуги } \stackrel{\frown}{AB}$

Так как правые части обоих равенств одинаковы (обе равны половине величины одной и той же дуги $\stackrel{\frown}{AB}$), то и левые части этих равенств также должны быть равны между собой:
$\angle ACB = \angle ADB$

Таким образом, мы доказали, что любые вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Ответ: Утверждение доказано. Так как величина любого вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, а все рассматриваемые углы опираются на одну и ту же дугу, то все они равны половине величины этой дуги, а значит, равны между собой.