Номер 3, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Вопросы для повторения к главе 9 - номер 3, страница 209.

Условие.

3 Объясните, почему две окружности не могут иметь три общие точки.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Данное утверждение можно доказать методом от противного.

Предположим, что существуют две различные окружности, которые имеют три общие точки. Обозначим эти точки $A$, $B$ и $C$.

Согласно основной аксиоме планиметрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность.

Рассмотрим наши три общие точки $A$, $B$ и $C$. Эти точки не могут лежать на одной прямой, так как любая прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не являются коллинеарными.

Поскольку обе наши окружности по предположению проходят через три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой, то, согласно упомянутой аксиоме, эти две окружности должны совпадать. То есть, это одна и та же окружность.

Это вступает в противоречие с нашим первоначальным условием, что мы рассматривали две различные окружности.

Следовательно, наше предположение было неверным. Две различные окружности не могут иметь три общие точки.

Ответ: Если бы две различные окружности имели три общие точки, то через эти три точки (которые не могут лежать на одной прямой) проходили бы две разные окружности. Это противоречит аксиоме о том, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Следовательно, две окружности не могут иметь три общие точки.