Номер 3, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 3, страница 209.

3 Объясните, почему две окружности не могут иметь три общие точки.

Данное утверждение можно доказать методом от противного.

Предположим, что существуют две различные окружности, которые имеют три общие точки. Обозначим эти точки $A$, $B$ и $C$.

Согласно основной аксиоме планиметрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность.

Рассмотрим наши три общие точки $A$, $B$ и $C$. Эти точки не могут лежать на одной прямой, так как любая прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не являются коллинеарными.

Поскольку обе наши окружности по предположению проходят через три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой, то, согласно упомянутой аксиоме, эти две окружности должны совпадать. То есть, это одна и та же окружность.

Это вступает в противоречие с нашим первоначальным условием, что мы рассматривали две различные окружности.

Следовательно, наше предположение было неверным. Две различные окружности не могут иметь три общие точки.

Ответ: Если бы две различные окружности имели три общие точки, то через эти три точки (которые не могут лежать на одной прямой) проходили бы две разные окружности. Это противоречит аксиоме о том, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Следовательно, две окружности не могут иметь три общие точки.