Номер 795, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 795, страница 209.

795 Докажите, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого четырёхугольника.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, около которого можно описать окружность. Обозначим центр этой окружности точкой $O$, а её радиус — $R$.

По определению, если окружность описана около четырёхугольника, то все его вершины ($A, B, C, D$) лежат на этой окружности. Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до каждой из вершин равно радиусу:
$OA = OB = OC = OD = R$.

Рассмотрим сторону $AB$ четырёхугольника как отрезок. Поскольку $OA = OB = R$, точка $O$ является точкой, равноудалённой от концов отрезка $AB$.

Известно, что геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

Проведём аналогичные рассуждения для остальных сторон четырёхугольника:

• Так как $OB = OC$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.
• Так как $OC = OD$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $CD$.
• Так как $OD = OA$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $DA$.

Таким образом, точка $O$, которая является центром описанной окружности, принадлежит серединным перпендикулярам ко всем четырём сторонам данного четырёхугольника. Это по определению означает, что центр окружности $O$ является точкой пересечения этих серединных перпендикуляров.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности, описанной около четырёхугольника, по определению равноудалён от всех его вершин. Каждая сторона четырёхугольника является хордой этой окружности. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка (в данном случае — стороны), есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, центр описанной окружности должен принадлежать серединному перпендикуляру к каждой из сторон, а значит, он является точкой их пересечения.