Номер 791, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 791, страница 209.

791 Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма и свойствами четырехугольника, вписанного в окружность.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, вокруг которого описана окружность.

1. Свойство параллелограмма:
У любого параллелограмма противоположные углы равны.
То есть, $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

2. Свойство вписанного четырехугольника:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
То есть, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

3. Совмещение свойств:
Рассмотрим пару углов $\angle A$ и $\angle C$. Из свойства параллелограмма мы знаем, что $\angle A = \angle C$. Из свойства вписанного четырехугольника мы знаем, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
Подставим $\angle A$ вместо $\angle C$ в уравнение суммы:
$\angle A + \angle A = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 90^\circ$

Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle C$ также равен $90^\circ$.

Аналогично для углов $\angle B$ и $\angle D$:
$\angle B + \angle D = 180^\circ$ и $\angle B = \angle D$
$\angle B + \angle B = 180^\circ$
$2\angle B = 180^\circ$
$\angle B = 90^\circ$

Следовательно, $\angle D$ также равен $90^\circ$.

Таким образом, все углы параллелограмма $ABCD$ равны $90^\circ$. Параллелограмм, у которого все углы прямые, по определению является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.