Номер 793, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. 83. Описанная окружность - номер 793, страница 209.

Условие.

793 В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АK, ВМ, СN, пересекающиеся в точке Н. Докажите, что около каждого из четырёхугольников СМНK, АМНN, ВNНK можно описать окружность.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства того, что около четырёхугольника можно описать окружность, достаточно показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

CMHK

Рассмотрим четырёхугольник $CMHK$. По условию, $AK$ и $BM$ – высоты треугольника $ABC$, опущенные на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что $AK \perp BC$ и $BM \perp AC$.
Следовательно, $\angle AKC = 90^\circ$ и $\angle BMC = 90^\circ$.
Поскольку точка $H$ является точкой пересечения высот, она лежит как на отрезке $AK$, так и на отрезке $BM$. Таким образом, углы $\angle HKC$ и $\angle HMC$ в четырёхугольнике $CMHK$ также являются прямыми: $\angle HKC = 90^\circ$ и $\angle HMC = 90^\circ$.
Углы $\angle HKC$ и $\angle HMC$ являются противоположными в четырёхугольнике $CMHK$. Найдём их сумму:
$\angle HKC + \angle HMC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Так как сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. В данном случае, отрезок $CH$ будет являться диаметром этой окружности.
Ответ: Доказано, что около четырёхугольника $CMHK$ можно описать окружность.

AMHN

Рассмотрим четырёхугольник $AMHN$. По условию, $BM$ и $CN$ – высоты, опущенные на стороны $AC$ и $AB$ соответственно, значит, $BM \perp AC$ и $CN \perp AB$.
Отсюда следует, что $\angle BMA = 90^\circ$ и $\angle CNA = 90^\circ$.
Точка $H$ лежит на высотах $BM$ и $CN$, поэтому $\angle HMA = 90^\circ$ и $\angle HNA = 90^\circ$.
В четырёхугольнике $AMHN$ углы $\angle HMA$ и $\angle HNA$ являются противоположными. Их сумма равна:
$\angle HMA + \angle HNA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Так как сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет отрезок $AH$.
Ответ: Доказано, что около четырёхугольника $AMHN$ можно описать окружность.

BNHK

Рассмотрим четырёхугольник $BNHK$. По условию, $AK$ и $CN$ – высоты, опущенные на стороны $BC$ и $AB$ соответственно, значит, $AK \perp BC$ и $CN \perp AB$.
Отсюда следует, что $\angle AKB = 90^\circ$ и $\angle CNB = 90^\circ$.
Точка $H$ лежит на высотах $AK$ и $CN$, поэтому $\angle HKB = 90^\circ$ и $\angle HNB = 90^\circ$.
В четырёхугольнике $BNHK$ углы $\angle HKB$ и $\angle HNB$ являются противоположными. Их сумма равна:
$\angle HKB + \angle HNB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Так как сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет отрезок $BH$.
Ответ: Доказано, что около четырёхугольника $BNHK$ можно описать окружность.