Номер 794, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. 83. Описанная окружность - номер 794, страница 209.

Условие.

794 Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то её центр является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть в четырёхугольник можно вписать окружность. Обозначим центр этой окружности точкой $O$, а её радиус — $r$. По определению вписанной окружности, она касается всех четырёх сторон четырёхугольника.

Рассмотрим один из углов четырёхугольника, например, угол, образованный сторонами $AB$ и $AD$. Пусть окружность касается этих сторон в точках $K$ и $M$ соответственно.

Проведём радиусы $OK$ и $OM$ в точки касания. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OK \perp AB$ и $OM \perp AD$.

Длины отрезков $OK$ и $OM$ являются расстояниями от центра окружности $O$ до сторон $AB$ и $AD$. Оба этих расстояния равны радиусу окружности: $OK = r$ и $OM = r$. Таким образом, $OK = OM$, что означает, что точка $O$ равноудалена от сторон угла $A$.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, является его биссектриса. Так как точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AD$, она обязательно лежит на биссектрисе угла $A$.

Аналогичные рассуждения можно провести для каждого из оставшихся трёх углов четырёхугольника. Точка $O$ будет равноудалена от сторон, образующих угол $B$, следовательно, она лежит на биссектрисе угла $B$. Точно так же она лежит на биссектрисах углов $C$ и $D$.

Поскольку центр вписанной окружности $O$ принадлежит биссектрисам всех четырёх углов четырёхугольника, он является точкой пересечения этих биссектрис.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.