Номер 787, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 787, страница 208.

787 Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойством описанного четырехугольника и формулой для нахождения его площади.

Пусть стороны четырехугольника равны $a$, $b$, $c$ и $d$. По свойству описанного четырехугольника (известному как теорема Пиго), суммы длин его противоположных сторон равны. В условии сказано, что сумма двух противоположных сторон равна 12 см. Обозначим их как $a$ и $c$, тогда $a + c = 12$ см. Следовательно, сумма двух других противоположных сторон $b$ и $d$ также будет равна 12 см: $a + c = b + d = 12$ см.

Периметр $P$ четырехугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c + d = (a + c) + (b + d) = 12 + 12 = 24$ см.

Площадь $S$ любого описанного многоугольника (в том числе и четырехугольника) можно вычислить по формуле: $S = p \cdot r$, где $p$ — это полупериметр многоугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

Найдем полупериметр $p$, который равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

По условию задачи, радиус вписанной окружности $r = 5$ см. Теперь мы можем найти площадь четырехугольника, подставив известные значения в формулу: $S = 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 60$ см².

Ответ: 60 см².