Номер 783, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 783, страница 206.

783 На клетчатой бумаге изображены окружности и связанные с ними углы. По данным рисунка 267 найдите величину угла АВС.

а)

Угол $ \angle ABC $ является вписанным углом, опирающимся на дугу $ AC $. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Найдем величину центрального угла $ \angle AOC $.

Введем систему координат с центром в точке O. Пусть одна клетка равна 1. Тогда радиус окружности $ R=3 $. Точка A имеет координаты $ (-3, 0) $, а точка C имеет координаты $ (0, -3) $. Треугольник $ \triangle AOC $ является прямоугольным равнобедренным треугольником, так как $ OA = OC = R = 3 $ и угол между осями координат прямой. Следовательно, $ \angle AOC = 90^\circ $.

Величина вписанного угла $ \angle ABC $ равна половине центрального угла $ \angle AOC $:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $.

Ответ: $ 45^\circ $.

б)

Угол $ \angle ABC $ является вписанным углом. Он опирается на дугу $ AC $. Из рисунка видно, что хорда $ AC $ проходит через центр окружности O, следовательно, $ AC $ — диаметр. Дуга, на которую опирается угол, является полуокружностью, и ее величина составляет $ 180^\circ $.

Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $.

Ответ: $ 90^\circ $.

в)

Угол $ \angle ABC $ — вписанный, опирающийся на дугу $ AC $. Его величина равна половине центрального угла $ \angle AOC $, опирающегося на ту же дугу.

Введем систему координат с центром в точке O. Пусть одна клетка равна 1. Радиус окружности $ R=3 $. Точка A имеет координаты $ (0, 3) $, а точка C имеет координаты $ (3, 0) $. Треугольник $ \triangle AOC $ является прямоугольным равнобедренным, так как $ OA = OC = R = 3 $ и оси координат перпендикулярны. Таким образом, $ \angle AOC = 90^\circ $.

Величина вписанного угла $ \angle ABC $:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $.

Ответ: $ 45^\circ $.

г)

Угол $ \angle ABC $ — вписанный, опирающийся на дугу $ AC $. Его величина равна половине центрального угла $ \angle AOC $.

Примем, что центр окружности O находится в начале координат $ (0, 0) $ и радиус $ R=3 $. Из рисунка видно, что хорда $ AC $ расположена горизонтально на 1.5 клетки ниже центра, то есть на линии $ y = -1.5 $.

Найдем длину хорды $ AC $. Координаты точек A и C на окружности $ x^2 + y^2 = 3^2 $ при $ y = -1.5 $ будут:

$ x^2 + (-1.5)^2 = 9 \implies x^2 + 2.25 = 9 \implies x^2 = 6.75 \implies x = \pm\sqrt{6.75} = \pm\frac{3\sqrt{3}}{2} $.

Длина хорды $ AC = 2|x| = 3\sqrt{3} $. В равнобедренном треугольнике $ \triangle AOC $ ($ OA=OC=3 $), используя теорему косинусов:

$ AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC) $

$ (3\sqrt{3})^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(\angle AOC) $

$ 27 = 18 - 18 \cos(\angle AOC) \implies 18 \cos(\angle AOC) = -9 \implies \cos(\angle AOC) = -0.5 $.

Отсюда $ \angle AOC = 120^\circ $.

Величина вписанного угла $ \angle ABC $:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ $.

Ответ: $ 60^\circ $.

д)

Угол $ \angle ABC $ образован касательной $ BC $ к окружности в точке $ B $ и хордой $ AB $. Величина такого угла равна половине дуги, заключенной внутри него, то есть половине дуги $ AB $.

Чтобы найти величину дуги $ AB $, определим положение точек на сетке. Предположим, что точки A и B, а также центр O, расположены в узлах сетки таким образом, чтобы выполнялись условия задачи. Пусть центр окружности O находится в точке $ (0, -1) $, а радиус $ R=2 $. Тогда точка касания B имеет координаты $ (0, -3) $, а касательная BC — это горизонтальная прямая $ y=-3 $. Точка A пусть имеет координаты $ (2, -1) $. Проверим, лежит ли точка A на окружности: $ (2-0)^2 + (-1 - (-1))^2 = 2^2 + 0^2 = 4 = R^2 $. Условие выполняется.

Теперь найдем центральный угол $ \angle AOB $. В треугольнике $ \triangle AOB $ стороны $ OA $ и $ OB $ являются радиусами, $ OA=OB=2 $. Вектор $ \vec{OA} = (2-0, -1-(-1)) = (2, 0) $. Вектор $ \vec{OB} = (0-0, -3-(-1)) = (0, -2) $. Поскольку векторы лежат на осях смещенной системы координат, угол между ними $ \angle AOB = 90^\circ $.

Величина дуги $ AB $ равна $ 90^\circ $. Тогда:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $.

Ответ: $ 45^\circ $.

е)

Угол $ \angle ABC $ является углом треугольника $ \triangle ABC $, где вершины A и B лежат на окружности, а вершина C — нет. Для нахождения угла воспользуемся координатной сеткой.

Аналогично пункту д), предположим, что окружность имеет центр в точке $ O(0, -1) $ и радиус $ R=2 $. Точки A и B лежат на этой окружности. Из рисунка видно, что B — самая нижняя точка треугольника, а прямая BC — горизонтальна. Пусть B имеет координаты $ (0, -3) $. Точка A, как и в пункте д), может иметь координаты $ (2, -1) $. Точка C лежит на горизонтальной прямой, проходящей через B, т.е. $ y=-3 $.

Тогда $ \angle ABC $ — это угол между отрезком $ BA $ и прямой $ BC $ (осью Ox', если сместить начало координат в точку B). Прямая $ BC $ горизонтальна. Найдем угол, который образует прямая $ BA $ с горизонталью.

Координаты вектора $ \vec{BA} = (2-0, -1-(-3)) = (2, 2) $. Тангенс угла наклона этого вектора к горизонтальной оси равен отношению компонент: $ \tan(\alpha) = \frac{2}{2} = 1 $. Следовательно, угол наклона равен $ 45^\circ $.

$ \angle ABC = 45^\circ $.

Ответ: $ 45^\circ $.

ж)

Угол $ \angle ABC $ образован касательной $ BC $ (касание в точке B) и хордой $ AB $. Его величина равна половине центрального угла $ \angle AOB $.

Предположим, что точки и линии можно расположить на узлах сетки, чтобы удовлетворить условиям рисунка. Пусть центр окружности $ O=(0, 2) $ и радиус $ R=\sqrt{5} $. Пусть точка касания $ B=(-2, 3) $. Касательная $ BC $ проходит через точку $ C(-1, 5) $. Проверим перпендикулярность радиуса $ OB $ и касательной $ BC $. Вектор радиуса $ \vec{OB} = (-2-0, 3-2) = (-2, 1) $. Его наклон $ -1/2 $. Вектор касательной $ \vec{BC} = (-1-(-2), 5-3) = (1, 2) $. Его наклон $ 2 $. Поскольку $ (-1/2) \cdot 2 = -1 $, радиус и касательная перпендикулярны.

Из рисунка видно, что хорда $ AC $ (в данном случае, просто прямая, на которой лежит точка А) горизонтальна. Пусть она проходит по линии $ y=1 $. Найдем точку A как пересечение прямой $ y=1 $ с окружностью $ (x-0)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{5})^2 $.

$ x^2 + (1-2)^2 = 5 \implies x^2 + 1 = 5 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $. Из рисунка A находится справа, так что $ A=(2, 1) $.

Теперь найдем центральный угол $ \angle AOB $. O=(0,2), A=(2,1), B=(-2,3). Вектор $ \vec{OA} = (2-0, 1-2) = (2, -1) $. Вектор $ \vec{OB} = (-2-0, 3-2) = (-2, 1) $. Заметим, что $ \vec{OA} = -1 \cdot \vec{OB} $. Это означает, что точки A, O, B лежат на одной прямой, и O находится между A и B. Следовательно, $ AB $ — диаметр, а $ \angle AOB = 180^\circ $.

Тогда величина угла между касательной и хордой:

$ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $.

Ответ: $ 90^\circ $.