Номер 779, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 779, страница 206.

779 Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если AB — диаметр окружности, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B.

Для доказательства воспользуемся свойствами вписанных углов и суммой углов треугольника.

Доказательство, что $\angle C > \angle A$

1. Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность. По условию задачи, сторона $AB$ является диаметром этой окружности.

2. Существует теорема, согласно которой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Угол $\angle C$ нашего треугольника как раз опирается на диаметр $AB$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Таким образом, $\angle C = 90^\circ$.

3. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это записывается как: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

4. Подставим известное значение угла $\angle C$ в это равенство: $\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$.

5. Из этого уравнения следует, что сумма двух других углов равна: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

6. Поскольку $ABC$ — это треугольник, то его углы не могут быть нулевыми или отрицательными. В частности, $\angle B > 0^\circ$. Из равенства $\angle A = 90^\circ - \angle B$ следует, что $\angle A$ строго меньше $90^\circ$.

7. Теперь сравним углы $\angle C$ и $\angle A$. Мы установили, что $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A < 90^\circ$. Следовательно, $\angle C > \angle A$.

Ответ: Неравенство $\angle C > \angle A$ доказано.

Доказательство, что $\angle C > \angle B$

1. Аналогично предыдущему доказательству, мы используем выводы, что $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

2. Угол $\angle A$ в треугольнике $ABC$ также является положительной величиной, то есть $\angle A > 0^\circ$.

3. Из равенства $\angle B = 90^\circ - \angle A$ следует, что угол $\angle B$ строго меньше $90^\circ$.

4. Сравнивая углы $\angle C$ и $\angle B$, мы имеем $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$. Следовательно, $\angle C > \angle B$.

Таким образом, мы доказали оба неравенства, что и требовалось в задаче.

Ответ: Неравенство $\angle C > \angle B$ доказано.