Номер 773, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 773, страница 205.

773 Через точку А к данной окружности проведены касательная АB (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если ◡BD = 110°20′.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов, связанных с окружностью.

?BAD

1. Угол $?BAD$ образован касательной $AB$ и секущей $AD$, проведенными из одной точки $A$. Величина такого угла равна половине разности величин дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

2. Секущая $AD$ проходит через центр $O$. Пусть она пересекает окружность в точках $C$ и $D$, причем точка $C$ лежит между $A$ и $O$. Тогда $CD$ — диаметр окружности, а высекаемые дуги это $\smile BD$ и $\smile BC$.

3. По условию, величина дуги $BD$ равна $110°20'$.

4. Дуги $\smile BD$ и $\smile BC$ вместе составляют полуокружность, так как $CD$ — диаметр. Величина полуокружности равна $180°$.
$\smile BC + \smile BD = 180°$
Следовательно, найдем величину дуги $BC$:
$\smile BC = 180° - \smile BD = 180° - 110°20' = 179°60' - 110°20' = 69°40'$.

5. Теперь вычислим угол $?BAD$ по формуле:
$?BAD = \frac{1}{2} (\smile BD - \smile BC)$
$?BAD = \frac{1}{2} (110°20' - 69°40')$
Для вычитания в скобках представим $110°20'$ как $109°80'$ (так как $1°=60'$):
$109°80' - 69°40' = 40°40'$
$?BAD = \frac{1}{2} (40°40') = 20°20'$.
Ответ: $?BAD = 20°20'$.

?ADB

1. Рассмотрим треугольник $BOD$. Стороны $OB$ и $OD$ являются радиусами окружности, поэтому $OB = OD$. Это значит, что треугольник $BOD$ — равнобедренный.

2. Угол $?BOD$ является центральным углом, который опирается на дугу $BD$. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.
$?BOD = \smile BD = 110°20'$.

3. В равнобедренном треугольнике $BOD$ углы при основании $BD$ равны: $?OBD = ?ODB$. Угол $?ADB$, который мы ищем, это тот же самый угол, что и $?ODB$.

4. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Для треугольника $BOD$ имеем:
$?BOD + ?OBD + ?ODB = 180°$
$110°20' + 2 \cdot ?ADB = 180°$

5. Найдем $?ADB$:
$2 \cdot ?ADB = 180° - 110°20' = 179°60' - 110°20' = 69°40'$
$?ADB = \frac{69°40'}{2} = 34°50'$
Ответ: $?ADB = 34°50'$.