Номер 772, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими - номер 772, страница 205.

Условие.

772 В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ◡ВС = 102°.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны ($AB = AC$), а углы при основании также равны ($\angle ABC = \angle BCA$).

Угол $\angle BAC$ является вписанным в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$.

Известно, что градусная мера дуги $BC$ ($\cup BC$) составляет $102^\circ$. Найдем величину угла $\angle BAC$: $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 102^\circ = 51^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Поскольку $\angle ABC = \angle BCA$, мы можем записать: $\angle BAC + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$.

Подставим найденное значение угла $\angle BAC$: $51^\circ + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$.

Теперь решим это уравнение относительно $\angle ABC$: $2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 51^\circ$
$2 \cdot \angle ABC = 129^\circ$
$\angle ABC = \frac{129^\circ}{2} = 64.5^\circ$.

Так как $\angle ABC = \angle BCA$, то $\angle BCA = 64.5^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $51^\circ$, $64.5^\circ$ и $64.5^\circ$.