Номер 781, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими - номер 781, страница 206.

Условие.

781 Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 780, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для построения отрезка, равного среднему пропорциональному двух данных отрезков, мы воспользуемся утверждением, которое гласит: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Если длины этих отрезков (проекций катетов на гипотенузу) равны $a$ и $b$, то длина высоты $h$ вычисляется по формуле $h = \sqrt{ab}$.

Пусть нам даны два отрезка с длинами $a$ и $b$.

План построения

Мы построим прямоугольный треугольник, у которого отрезки $a$ и $b$ будут проекциями катетов на гипотенузу. Тогда высота, проведенная к гипотенузе, и будет искомым средним пропорциональным.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AC$, длина которого равна сумме длин данных отрезков, $a+b$. Для этого на прямой выберем точку $H$ и отложим от нее в разные стороны отрезки $AH = a$ и $HC = b$.
2. Построим окружность, для которой отрезок $AC$ является диаметром. Для этого найдем середину отрезка $AC$ — точку $O$ (с помощью циркуля и линейки) и проведем полуокружность с центром в $O$ и радиусом $R = OA = OC$.
3. В точке $H$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$.
4. Точку пересечения этого перпендикуляра с построенной полуокружностью обозначим $B$.
5. Отрезок $BH$ и есть искомый отрезок.

Доказательство

Рассмотрим полученный треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC$ является вписанным и опирается на диаметр $AC$. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Отрезок $BH$ по построению перпендикулярен гипотенузе $AC$, значит, $BH$ — высота этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла.

Согласно утверждению, на которое мы ссылаемся, высота $BH$ является средним пропорциональным для отрезков $AH$ и $HC$, на которые она делит гипотенузу.

Поскольку по построению мы задали $AH = a$ и $HC = b$, то длина высоты $BH$ равна $\sqrt{AH \cdot HC} = \sqrt{ab}$.

Таким образом, построенный отрезок $BH$ является средним пропорциональным для двух данных отрезков $a$ и $b$.

Ответ: Отрезок $BH$, построенный указанным методом, является искомым отрезком, равным среднему пропорциональному для двух данных отрезков.