Номер 781, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 781, страница 206.

781 Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 780, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

Для построения отрезка, равного среднему пропорциональному двух данных отрезков, мы воспользуемся утверждением, которое гласит: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Если длины этих отрезков (проекций катетов на гипотенузу) равны $a$ и $b$, то длина высоты $h$ вычисляется по формуле $h = \sqrt{ab}$.

Пусть нам даны два отрезка с длинами $a$ и $b$.

План построения

Мы построим прямоугольный треугольник, у которого отрезки $a$ и $b$ будут проекциями катетов на гипотенузу. Тогда высота, проведенная к гипотенузе, и будет искомым средним пропорциональным.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AC$, длина которого равна сумме длин данных отрезков, $a+b$. Для этого на прямой выберем точку $H$ и отложим от нее в разные стороны отрезки $AH = a$ и $HC = b$.
2. Построим окружность, для которой отрезок $AC$ является диаметром. Для этого найдем середину отрезка $AC$ — точку $O$ (с помощью циркуля и линейки) и проведем полуокружность с центром в $O$ и радиусом $R = OA = OC$.
3. В точке $H$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$.
4. Точку пересечения этого перпендикуляра с построенной полуокружностью обозначим $B$.
5. Отрезок $BH$ и есть искомый отрезок.

Доказательство

Рассмотрим полученный треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC$ является вписанным и опирается на диаметр $AC$. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Отрезок $BH$ по построению перпендикулярен гипотенузе $AC$, значит, $BH$ — высота этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла.

Согласно утверждению, на которое мы ссылаемся, высота $BH$ является средним пропорциональным для отрезков $AH$ и $HC$, на которые она делит гипотенузу.

Поскольку по построению мы задали $AH = a$ и $HC = b$, то длина высоты $BH$ равна $\sqrt{AH \cdot HC} = \sqrt{ab}$.

Таким образом, построенный отрезок $BH$ является средним пропорциональным для двух данных отрезков $a$ и $b$.

Ответ: Отрезок $BH$, построенный указанным методом, является искомым отрезком, равным среднему пропорциональному для двух данных отрезков.