Номер 782, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 782, страница 206.

782 Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА.

Доказательство:

Обозначим центры двух окружностей как $O_1$ и $O_2$.

1. По свойству окружности, касающейся сторон угла, её центр равноудалён от этих сторон. Следовательно, центр такой окружности лежит на биссектрисе угла. Поскольку каждая из двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ касается сторон угла с вершиной в точке $O$, то оба центра, $O_1$ и $O_2$, лежат на биссектрисе этого угла. Таким образом, точки $O$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

2. По условию, две окружности имеют общую касательную в точке $A$. Это означает, что окружности касаются друг друга в этой точке. По свойству касающихся окружностей, их центры ($O_1$, $O_2$) и точка касания ($A$) лежат на одной прямой, которая называется линией центров.

3. Из первого пункта следует, что точки $O$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Из второго пункта следует, что точки $A$, $O_1$ и $O_2$ также лежат на одной прямой. Поскольку эти две прямые имеют две общие различные точки ($O_1$ и $O_2$), то эти прямые совпадают. Это означает, что все четыре точки — $O$, $A$, $O_1$ и $O_2$ — лежат на одной и той же прямой.

Следовательно, центры окружностей $O_1$ и $O_2$ лежат на прямой, проходящей через точки $O$ и $A$, то есть на прямой $OA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центры окружностей лежат на прямой $OA$, так как они, с одной стороны, лежат на биссектрисе угла $O$, а с другой — на линии, соединяющей их с точкой их взаимного касания $A$. Поскольку точки $O_1$ и $O_2$ принадлежат обеим прямым (биссектрисе и линии $O_1A$), то все точки $O, A, O_1, O_2$ лежат на одной прямой.