Номер 12, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Вопросы для повторения к главе 9 - номер 12, страница 210.

Условие.

12 Как измеряются углы между хордами?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Величина угла между двумя хордами окружности определяется положением их точки пересечения. Существует два основных случая.

1. Угол между пересекающимися хордами (точка пересечения внутри окружности)

Теорема: Угол, образованный двумя пересекающимися внутри окружности хордами, равен половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M. Угол ?AMC и вертикальный ему угол ?DMB высекают на окружности дуги AC и DB. Тогда величина угла ?AMC находится по формуле:

$?AMC = \frac{1}{2} (\smile{AC} + \smile{DB})$

Доказательство:

1. Проведем дополнительное построение: соединим точки A и D хордой AD. Мы получим треугольник AMD.

2. Угол ?AMC является внешним углом для треугольника AMD. Согласно свойству внешнего угла, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $?AMC = ?MAD + ?MDA$.

3. Угол ?MAD (или ?DAB) является вписанным углом, опирающимся на дугу DB. Следовательно, его мера равна половине градусной меры этой дуги: $?MAD = \frac{1}{2} \smile{DB}$.

4. Аналогично, угол ?MDA (или ?ADC) — это вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Его мера равна: $?MDA = \frac{1}{2} \smile{AC}$.

5. Подставив выражения для углов в формулу из пункта 2, получаем: $?AMC = \frac{1}{2} \smile{AC} + \frac{1}{2} \smile{DB} = \frac{1}{2} (\smile{AC} + \smile{DB})$.

Теорема доказана.

Ответ: Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме градусных мер дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между сторонами вертикального ему угла.

2. Угол между секущими, образованными хордами (точка пересечения вне окружности)

Если продолжения двух хорд (секущие) пересекаются в точке вне окружности, то образуется угол, величина которого также связана с дугами окружности.

Теорема: Угол, образованный двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен половине разности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых на окружности сторонами этого угла.

Пусть из точки P, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках B и A (в порядке P-B-A). Вторая секущая пересекает окружность в точках D и C (в порядке P-D-C). Нам нужно найти величину угла ?P (или ?APC). Этот угол высекает дальнюю дугу AC и ближнюю дугу BD.

Формула для вычисления угла:

$?P = \frac{1}{2} (\smile{AC} - \smile{BD})$

Доказательство:

1. Проведем дополнительное построение: соединим точки A и D хордой AD. Рассмотрим треугольник PAD.

2. Угол ?CDA является внешним углом для треугольника PAD (при вершине D). Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $?CDA = ?DPA + ?PAD$.

3. Выразим из этого равенства искомый угол ?DPA (он же ?P): $?P = ?CDA - ?PAD$.

4. Угол ?CDA — это вписанный угол, который опирается на дальнюю дугу AC. Его мера равна: $?CDA = \frac{1}{2} \smile{AC}$.

5. Угол ?PAD (он же ?BAD) — это вписанный угол, который опирается на ближнюю дугу BD. Его мера равна: $?PAD = \frac{1}{2} \smile{BD}$.

6. Подставив выражения для углов в формулу из пункта 3, получаем: $?P = \frac{1}{2} \smile{AC} - \frac{1}{2} \smile{BD} = \frac{1}{2} (\smile{AC} - \smile{BD})$.

Теорема доказана.

Ответ: Угол между продолжениями двух хорд (секущими), пересекающимися вне окружности, равен полуразности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.