Номер 15, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 15, страница 210.

15 Как измеряется угол между касательной и секущей, не проходящей через точку касания?

Угол между касательной и секущей, которые проведены к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, измеряется половиной разности угловых мер дуг, которые заключены между сторонами этого угла.

Для наглядности введем обозначения. Пусть из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (причем точка $A$ находится ближе к точке $P$). Угол, который нужно измерить, — это $\angle TPA$.

Стороны этого угла высекают на окружности две дуги:

• дальнюю (большую) дугу $TB$, заключенную между точкой касания $T$ и дальней точкой пересечения $B$.
• ближнюю (меньшую) дугу $TA$, заключенную между точкой касания $T$ и ближней точкой пересечения $A$.

Формула для вычисления величины угла $\angle TPA$ выглядит следующим образом:

$\angle TPA = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } TB) - m(\text{дуга } TA))$

где $m(\text{дуга})$ обозначает угловую меру соответствующей дуги.

Доказательство

1. Соединим хордой точки $A$ и $T$. В получившемся треугольнике $\triangle PAT$ сумма углов составляет $180^\circ$: $\angle TPA + \angle PAT + \angle ATP = 180^\circ$.
2. Угол $\angle ATP$ образован касательной $PT$ и хордой $AT$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине угловой меры дуги, которую он стягивает, то есть дуги $TA$. Таким образом, $\angle ATP = \frac{1}{2} m(\cup TA)$.
3. Угол $\angle PAT$ и вписанный угол $\angle BAT$ являются смежными (их сумма $180^\circ$), так как они лежат на одной прямой $PB$. Вписанный угол $\angle BAT$ опирается на дугу $TB$, следовательно, его величина равна половине угловой меры этой дуги: $\angle BAT = \frac{1}{2} m(\cup TB)$. Отсюда получаем выражение для $\angle PAT$: $\angle PAT = 180^\circ - \angle BAT = 180^\circ - \frac{1}{2} m(\cup TB)$.
4. Подставим найденные выражения для углов $\angle PAT$ и $\angle ATP$ в исходное равенство для суммы углов треугольника:

   $\angle TPA + (180^\circ - \frac{1}{2} m(\cup TB)) + \frac{1}{2} m(\cup TA) = 180^\circ$

5. Упрощая это уравнение путем вычитания $180^\circ$ из обеих частей, получаем:

   $\angle TPA - \frac{1}{2} m(\cup TB) + \frac{1}{2} m(\cup TA) = 0$

6. Выразим искомый угол $\angle TPA$ и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

   $\angle TPA = \frac{1}{2} m(\cup TB) - \frac{1}{2} m(\cup TA) = \frac{1}{2} (m(\cup TB) - m(\cup TA))$

   Теорема доказана.

Ответ: Угол между касательной и секущей, не проходящей через точку касания, измеряется половиной разности угловых мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых его сторонами на окружности.