Номер 801, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 801, страница 210.

Условие.

801 Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла СВD не зависит от выбора прямой m.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Доказательство:

Пусть нам даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точках A и B. Пусть m – произвольная прямая, проходящая через точку A и пересекающая окружность $\omega_1$ в точке C, а окружность $\omega_2$ в точке D (в случаях, когда прямая касается одной из окружностей в точке A, соответствующая точка пересечения совпадает с A). Мы хотим доказать, что величина угла $\angle CBD$ не зависит от выбора прямой m.

Для доказательства выберем две различные прямые, $m_1$ и $m_2$, проходящие через точку A.

Пусть прямая $m_1$ пересекает окружность $\omega_1$ в точке C, а окружность $\omega_2$ в точке D.Пусть прямая $m_2$ пересекает окружность $\omega_1$ в точке C', а окружность $\omega_2$ в точке D'.

Наша задача — доказать, что $\angle CBD = \angle C'BD'$.

Рассмотрим окружность $\omega_1$. Точки A, B, C и C' лежат на этой окружности. Угол $\angle CAC'$ — это угол между прямыми $m_1$ и $m_2$. Углы $\angle CAC'$ и $\angle CBC'$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу CC'. Следовательно, их величины равны:

$\angle CBC' = \angle CAC'$

Теперь рассмотрим окружность $\omega_2$. Точки A, B, D и D' лежат на этой окружности. Угол $\angle DAD'$ — это также угол между прямыми $m_1$ и $m_2$. Углы $\angle DAD'$ и $\angle DBD'$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу DD'. Следовательно, их величины равны:

$\angle DBD' = \angle DAD'$

Так как $\angle CAC'$ и $\angle DAD'$ — это один и тот же угол (угол между прямыми $m_1$ и $m_2$), мы можем заключить, что:

$\angle CBC' = \angle DBD'$

Это равенство означает, что поворот луча BC вокруг точки B на угол $\angle CBC'$ совпадает с поворотом луча BD вокруг точки B на угол $\angle DBD'$. Другими словами, луч BC' получается из луча BC таким же поворотом вокруг точки B, как и луч BD' из луча BD.

Угол $\angle CBD$ — это угол между лучами BC и BD.Угол $\angle C'BD'$ — это угол между лучами BC' и BD'.

Поскольку лучи BC' и BD' получаются из лучей BC и BD соответственно путем поворота на один и тот же угол ($\angle CBC' = \angle DBD'$) в одном и том же направлении вокруг точки B, угол между ними сохраняется. Таким образом,

$\angle CBD = \angle C'BD'$

Так как мы выбрали прямые $m_1$ и $m_2$ произвольно, это доказывает, что величина угла $\angle CBD$ не зависит от выбора прямой m, проходящей через точку A.

Ответ: Величина угла $\angle CBD$ действительно не зависит от выбора прямой m, что и требовалось доказать.