Номер 805, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 805, страница 211.

805 Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что AB : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 : 1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S.

Для решения этой задачи воспользуемся двумя ключевыми свойствами четырёхугольника, описанного около окружности.

1. Свойство описанного четырёхугольника (Теорема Пито): Суммы длин противоположных сторон равны. Для четырёхугольника $ABCD$ это означает:

$AB + CD = AD + BC$

2. Формула площади: Площадь $S$ описанного многоугольника равна произведению его полупериметра $p$ на радиус вписанной окружности $r$.

$S = p \cdot r$

Введём переменные в соответствии с заданными пропорциями. Пусть $AB = 2x$ и $CD = 3x$ для некоторого коэффициента $x > 0$. Пусть $BC = y$ и $AD = 2y$ для некоторого коэффициента $y > 0$.

Теперь подставим эти выражения в равенство из теоремы Пито:

$2x + 3x = 2y + y$

$5x = 3y$

Из этого соотношения мы можем выразить $y$ через $x$:

$y = \frac{5}{3}x$

Теперь выразим все стороны четырёхугольника только через переменную $x$:

• $AB = 2x$
• $CD = 3x$
• $BC = y = \frac{5}{3}x$
• $AD = 2y = 2 \cdot \frac{5}{3}x = \frac{10}{3}x$

Далее найдем периметр $P$ четырёхугольника, чтобы вычислить полупериметр $p$.

$P = AB + BC + CD + AD = 2x + \frac{5}{3}x + 3x + \frac{10}{3}x$

Сгруппируем слагаемые для удобства:

$P = (2x + 3x) + \left(\frac{5}{3}x + \frac{10}{3}x\right) = 5x + \frac{15}{3}x = 5x + 5x = 10x$

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

Теперь используем формулу площади $S = p \cdot r$. Подставим в неё выражение для полупериметра:

$S = (5x) \cdot r$

Из этого уравнения выразим $x$, так как $S$ и $r$ нам даны (хоть и в общем виде):

$x = \frac{S}{5r}$

Зная $x$, мы можем найти длины всех сторон, подставив это значение в выражения для сторон:

AB = $2x = 2 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{5r}$

BC = $\frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{5S}{15r} = \frac{S}{3r}$

CD = $3x = 3 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{3S}{5r}$

AD = $\frac{10}{3}x = \frac{10}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{10S}{15r} = \frac{2S}{3r}$

Ответ: стороны четырёхугольника равны $AB = \frac{2S}{5r}$, $BC = \frac{S}{3r}$, $CD = \frac{3S}{5r}$, $AD = \frac{2S}{3r}$.