Номер 805, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 805, страница 211.

Условие.

805 Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что AB : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 : 1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения этой задачи воспользуемся двумя ключевыми свойствами четырёхугольника, описанного около окружности.

1. Свойство описанного четырёхугольника (Теорема Пито): Суммы длин противоположных сторон равны. Для четырёхугольника $ABCD$ это означает:

$AB + CD = AD + BC$

2. Формула площади: Площадь $S$ описанного многоугольника равна произведению его полупериметра $p$ на радиус вписанной окружности $r$.

$S = p \cdot r$

Введём переменные в соответствии с заданными пропорциями. Пусть $AB = 2x$ и $CD = 3x$ для некоторого коэффициента $x > 0$. Пусть $BC = y$ и $AD = 2y$ для некоторого коэффициента $y > 0$.

Теперь подставим эти выражения в равенство из теоремы Пито:

$2x + 3x = 2y + y$

$5x = 3y$

Из этого соотношения мы можем выразить $y$ через $x$:

$y = \frac{5}{3}x$

Теперь выразим все стороны четырёхугольника только через переменную $x$:

• $AB = 2x$
• $CD = 3x$
• $BC = y = \frac{5}{3}x$
• $AD = 2y = 2 \cdot \frac{5}{3}x = \frac{10}{3}x$

Далее найдем периметр $P$ четырёхугольника, чтобы вычислить полупериметр $p$.

$P = AB + BC + CD + AD = 2x + \frac{5}{3}x + 3x + \frac{10}{3}x$

Сгруппируем слагаемые для удобства:

$P = (2x + 3x) + \left(\frac{5}{3}x + \frac{10}{3}x\right) = 5x + \frac{15}{3}x = 5x + 5x = 10x$

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

Теперь используем формулу площади $S = p \cdot r$. Подставим в неё выражение для полупериметра:

$S = (5x) \cdot r$

Из этого уравнения выразим $x$, так как $S$ и $r$ нам даны (хоть и в общем виде):

$x = \frac{S}{5r}$

Зная $x$, мы можем найти длины всех сторон, подставив это значение в выражения для сторон:

AB = $2x = 2 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{5r}$

BC = $\frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{5S}{15r} = \frac{S}{3r}$

CD = $3x = 3 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{3S}{5r}$

AD = $\frac{10}{3}x = \frac{10}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{10S}{15r} = \frac{2S}{3r}$

Ответ: стороны четырёхугольника равны $AB = \frac{2S}{5r}$, $BC = \frac{S}{3r}$, $CD = \frac{3S}{5r}$, $AD = \frac{2S}{3r}$.