Страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

803 На хорде AB окружности с центром O выбрана произвольная точка C. Через точки A, O и C проходит окружность, которая пересекает данную окружность в точке D. Докажите, что треугольник BCD равнобедренный.

Пусть дана окружность $\omega_1$ с центром в точке $O$. На этой окружности лежат точки $A$, $B$ и $D$. Хорда $AB$ содержит точку $C$.Вторая окружность, назовем ее $\omega_2$, проходит через точки $A$, $O$, $C$ и $D$.Для того чтобы доказать, что треугольник $BCD$ является равнобедренным, мы докажем равенство двух его сторон, например, $BC = CD$. Равенство этих сторон равносильно равенству противолежащих им углов: $\angle CBD = \angle CDB$.

Рассмотрим углы, связанные с нашими окружностями.

1. В окружности $\omega_2$ точки $A$, $O$, $C$, $D$ лежат на одной дуге. Углы $\angle OAC$ и $\angle ODC$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $OC$. Следовательно, они равны:
$\angle ODC = \angle OAC$.

2. В окружности $\omega_1$ отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами, поэтому $OA = OB$. Это означает, что треугольник $OAB$ равнобедренный, и углы при его основании равны:
$\angle OAB = \angle OBA$.

3. Объединим результаты. Поскольку точка $C$ лежит на хорде $AB$, углы $\angle OAC$ и $\angle OAB$ — это один и тот же угол. Точно так же, $\angle OBA$ и $\angle OBC$ — это один и тот же угол.
Из пунктов 1 и 2 следует:
$\angle ODC = \angle OAC = \angle OAB = \angle OBA$.
Таким образом, мы установили важное равенство: $\angle ODC = \angle OBA$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $OBD$ в окружности $\omega_1$. Отрезки $OB$ и $OD$ являются радиусами $\omega_1$, поэтому $OB = OD$. Следовательно, треугольник $OBD$ также является равнобедренным, и углы при его основании равны:
$\angle OBD = \angle ODB$.

5. Теперь мы готовы сравнить углы $\angle CBD$ и $\angle CDB$.
Угол $\angle CBD$ — это угол при вершине $B$ в треугольнике $BCD$. Так как $C$ лежит на прямой $AB$, этот угол совпадает с углом $\angle ABD$. Угол $\angle ABD$ можно выразить как разность (или сумму) углов $\angle OBD$ и $\angle OBA$. Вне зависимости от расположения точек, величина угла $\angle ABD$ равна $|\angle OBD - \angle OBA|$.
$\angle CBD = \angle ABD = |\angle OBD - \angle OBA|$.

Угол $\angle CDB$ — это угол при вершине $D$ в треугольнике $BCD$. Его величину можно выразить как разность (или сумму) углов $\angle ODB$ и $\angle ODC$:
$\angle CDB = |\angle ODB - \angle ODC|$.

6. Сравним полученные выражения для углов. Из пункта 4 мы знаем, что $\angle OBD = \angle ODB$. Из пункта 3 мы знаем, что $\angle OBA = \angle ODC$.
Подставим эти равенства в выражения для $\angle CBD$ и $\angle CDB$:
$\angle CBD = |\angle OBD - \angle OBA|$
$\angle CDB = |\angle ODB - \angle ODC| = |\angle OBD - \angle OBA|$
Отсюда следует, что $\angle CBD = \angle CDB$.

7. В треугольнике $BCD$ углы при вершинах $B$ и $D$ равны. Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $BC = CD$.
Следовательно, треугольник $BCD$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ:
Доказано, что в треугольнике $BCD$ углы $\angle CBD$ и $\angle CDB$ равны, так как оба они равны $|\angle OBD - \angle OBA|$, где $\angle OBD = \angle ODB$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $OBD$) и $\angle OBA = \angle ODC$ (через равенство вписанных углов в вспомогательной окружности и равнобедренный треугольник $OAB$). Из равенства углов $\angle CBD = \angle CDB$ следует равенство сторон $BC = CD$, поэтому треугольник $BCD$ является равнобедренным.

804 Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанной окружности и определением прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со смежными сторонами $a$ и $b$. По условию, в этот прямоугольник можно вписать окружность. Это означает, что окружность касается всех четырех сторон прямоугольника. Обозначим диаметр этой окружности как $d$.

Рассмотрим первую пару противоположных сторон прямоугольника. Пусть их длина равна $a$. Расстояние между этими двумя параллельными сторонами равно длине смежной стороны, то есть $b$. Поскольку вписанная окружность касается этих двух сторон, расстояние между ними должно быть равно диаметру этой окружности. Таким образом, получаем первое равенство: $b = d$.

Теперь рассмотрим вторую пару противоположных сторон. Их длина равна $b$. Расстояние между этими параллельными сторонами равно длине смежной стороны, то есть $a$. Так как окружность касается и этих сторон, расстояние между ними также должно быть равно диаметру окружности. Таким образом, получаем второе равенство: $a = d$.

Из полученных равенств $b = d$ и $a = d$ следует, что $a = b$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:

Воспользуемся теоремой о вписанной в четырехугольник окружности (теоремой Пито). Она гласит, что в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Прямоугольник является выпуклым четырехугольником. Пусть его стороны равны $a, b, a, b$.

Согласно теореме, для того чтобы в него можно было вписать окружность, должно выполняться условие:$a + a = b + b$

$2a = 2b$

$a = b$

Это означает, что смежные стороны прямоугольника равны, а такой прямоугольник по определению является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано.

805 Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что AB : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 : 1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S.

Для решения этой задачи воспользуемся двумя ключевыми свойствами четырёхугольника, описанного около окружности.

1. Свойство описанного четырёхугольника (Теорема Пито): Суммы длин противоположных сторон равны. Для четырёхугольника $ABCD$ это означает:

$AB + CD = AD + BC$

2. Формула площади: Площадь $S$ описанного многоугольника равна произведению его полупериметра $p$ на радиус вписанной окружности $r$.

$S = p \cdot r$

Введём переменные в соответствии с заданными пропорциями. Пусть $AB = 2x$ и $CD = 3x$ для некоторого коэффициента $x > 0$. Пусть $BC = y$ и $AD = 2y$ для некоторого коэффициента $y > 0$.

Теперь подставим эти выражения в равенство из теоремы Пито:

$2x + 3x = 2y + y$

$5x = 3y$

Из этого соотношения мы можем выразить $y$ через $x$:

$y = \frac{5}{3}x$

Теперь выразим все стороны четырёхугольника только через переменную $x$:

• $AB = 2x$
• $CD = 3x$
• $BC = y = \frac{5}{3}x$
• $AD = 2y = 2 \cdot \frac{5}{3}x = \frac{10}{3}x$

Далее найдем периметр $P$ четырёхугольника, чтобы вычислить полупериметр $p$.

$P = AB + BC + CD + AD = 2x + \frac{5}{3}x + 3x + \frac{10}{3}x$

Сгруппируем слагаемые для удобства:

$P = (2x + 3x) + \left(\frac{5}{3}x + \frac{10}{3}x\right) = 5x + \frac{15}{3}x = 5x + 5x = 10x$

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

Теперь используем формулу площади $S = p \cdot r$. Подставим в неё выражение для полупериметра:

$S = (5x) \cdot r$

Из этого уравнения выразим $x$, так как $S$ и $r$ нам даны (хоть и в общем виде):

$x = \frac{S}{5r}$

Зная $x$, мы можем найти длины всех сторон, подставив это значение в выражения для сторон:

AB = $2x = 2 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{2S}{5r}$

BC = $\frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{5S}{15r} = \frac{S}{3r}$

CD = $3x = 3 \cdot \frac{S}{5r} = \frac{3S}{5r}$

AD = $\frac{10}{3}x = \frac{10}{3} \cdot \frac{S}{5r} = \frac{10S}{15r} = \frac{2S}{3r}$

Ответ: стороны четырёхугольника равны $AB = \frac{2S}{5r}$, $BC = \frac{S}{3r}$, $CD = \frac{3S}{5r}$, $AD = \frac{2S}{3r}$.

806 Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Пусть дана трапеция, основания которой лежат на параллельных прямых $a$ и $b$. Пусть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ касается этих прямых.

По свойству касательной, расстояние от центра окружности до прямой, касающейся ее, равно радиусу. Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ равно $R$, и расстояние от точки $O$ до прямой $b$ также равно $R$. Математически это записывается как $\rho(O, a) = R$ и $\rho(O, b) = R$.

Таким образом, центр окружности, точка $O$, является точкой, равноудаленной от двух параллельных прямых $a$ и $b$.

Известно, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, — это прямая, которая параллельна данным прямым и проходит ровно посередине между ними.

Рассмотрим теперь прямую, проходящую через середины боковых сторон трапеции. По определению, эта прямая является средней линией трапеции. По свойству средней линии, она параллельна основаниям трапеции (то есть прямым $a$ и $b$) и проходит ровно посередине между ними.

Следовательно, средняя линия трапеции и есть то самое геометрическое место точек, равноудаленных от прямых $a$ и $b$.

Поскольку точка $O$ принадлежит этому геометрическому месту точек, она должна лежать на средней линии трапеции. Таким образом, прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности $O$ равноудален от параллельных прямых, содержащих основания трапеции. Средняя линия трапеции является геометрическим местом точек, равноудаленных от этих прямых. Следовательно, центр окружности лежит на средней линии трапеции.

807 Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD

AB+CD=BC+AD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов A и B равноудалена от сторон AD, AB и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 272, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 272, б). Проведём касательную C′D′, параллельную стороне CD (С′ и D′ — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABC′D′ — описанный четырёхугольник, то по свойству его сторон

AB+C′D′=BC′+AD′. (2)

Но ВС′=ВС−С′С, AD′=AD−D′D, поэтому из равенства (2) получаем:

Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству

C′D′+C′C+D′D=CD,

т. е. в четырёхугольнике C′CDD′ одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

Это утверждение является теоремой, обратной к свойству описанного четырехугольника. Докажем ее.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором, по условию, суммы длин противоположных сторон равны: $$AB + CD = BC + AD \quad (1)$$

В любом выпуклом четырехугольнике биссектрисы двух соседних углов, например, $\angle A$ и $\angle B$, пересекаются. Обозначим точку их пересечения $O$. По свойству биссектрисы, любая ее точка равноудалена от сторон угла. Следовательно, точка $O$ равноудалена от сторон $AD$ и $AB$ (так как лежит на биссектрисе $\angle A$) и от сторон $AB$ и $BC$ (так как лежит на биссектрисе $\angle B$). Таким образом, точка $O$ равноудалена от трех сторон четырехугольника: $AD$, $AB$ и $BC$.

Это позволяет нам построить окружность с центром в точке $O$, которая касается этих трех сторон. Обозначим эту окружность $\omega$.

Теперь нам необходимо доказать, что эта окружность касается и четвертой стороны $CD$. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что сторона $CD$ не касается окружности $\omega$. Тогда возможны два случая: прямая, содержащая отрезок $CD$, либо не имеет с окружностью общих точек, либо является ее секущей.

Случай 1: Прямая $CD$ не имеет общих точек с окружностью.

В этом случае сторона $CD$ находится "снаружи" окружности. Проведем касательную к окружности $\omega$, параллельную стороне $CD$. Пусть эта касательная пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $C'$ и $D'$ соответственно. Мы получаем новый четырехугольник $ABC'D'$.

По построению, четырехугольник $ABC'D'$ является описанным около окружности $\omega$. Следовательно, для него выполняется свойство равенства сумм противоположных сторон: $$AB + C'D' = BC' + AD' \quad (2)$$

Точки $C'$ и $D'$ лежат на отрезках $BC$ и $AD$, поэтому мы можем выразить длины $BC'$ и $AD'$: $BC' = BC - C'C$
$AD' = AD - D'D$

Подставим эти выражения в равенство (2): $$AB + C'D' = (BC - C'C) + (AD - D'D)$$ Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить сумму $BC+AD$: $$AB + C'D' = (BC + AD) - C'C - D'D$$ Теперь воспользуемся исходным условием (1), согласно которому $BC + AD = AB + CD$. Заменим $BC + AD$ в правой части: $$AB + C'D' = (AB + CD) - C'C - D'D$$ Вычтем $AB$ из обеих частей: $$C'D' = CD - C'C - D'D$$ Или, перенеся все члены, кроме $CD$, в левую часть: $$C'D' + C'C + D'D = CD$$

Это равенство описывает стороны трапеции $C'CDD'$ (фигура является трапецией, так как $C'D' \parallel CD$). Однако, согласно неравенству многоугольника (обобщенному неравенству треугольника), длина одной стороны любого выпуклого многоугольника всегда строго меньше суммы длин остальных сторон. Для трапеции $C'CDD'$ должно выполняться неравенство $CD < C'D' + C'C + D'D$. Полученное нами равенство противоречит этому факту (равенство возможно только в вырожденном случае, когда точки $C', C, D, D'$ лежат на одной прямой, что невозможно для трапеции). Следовательно, наше исходное предположение для данного случая было неверным.

Случай 2: Прямая $CD$ является секущей окружности.

Доказательство проводится аналогично. Снова проведем касательную $C'D'$ к окружности $\omega$, параллельную $CD$. В этом случае точки $C'$ и $D'$ будут лежать на продолжениях сторон $BC$ и $AD$ за точки $C$ и $D$. Четырехугольник $ABC'D'$ снова будет описанным, и для него будет выполняться равенство: $$AB + C'D' = BC' + AD'$$

Но теперь длины сторон $BC'$ и $AD'$ выражаются так: $BC' = BC + CC'$
$AD' = AD + DD'$

Подставляя это в равенство для $ABC'D'$, получаем: $$AB + C'D' = (BC + CC') + (AD + DD')$$ $$AB + C'D' = (BC + AD) + CC' + DD'$$ Используя снова условие (1), $BC + AD = AB + CD$: $$AB + C'D' = (AB + CD) + CC' + DD'$$ Вычитая $AB$ из обеих частей, получаем: $$C'D' = CD + CC' + DD'$$

Это равенство для сторон трапеции $CDD'C'$ также противоречит неравенству многоугольника, согласно которому должно быть $C'D' < CD + CC' + DD'$. Следовательно, и это предположение неверно.

Поскольку оба возможных случая (прямая $CD$ не пересекает окружность и прямая $CD$ является секущей) приводят к противоречию, наше первоначальное предположение о том, что сторона $CD$ не касается окружности, является ложным. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что прямая $CD$ касается окружности $\omega$.

Таким образом, все четыре стороны четырехугольника $ABCD$ касаются одной и той же окружности $\omega$, а значит, в данный четырехугольник можно вписать окружность. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны ($AB + CD = BC + AD$), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Доказательство от противного показывает, что окружность, построенная касательной к трем сторонам, обязана касаться и четвертой стороны, так как любое другое ее положение относительно этой стороны приводит к логическому противоречию с неравенством многоугольника.