Страница 204 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

762 Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду AB так, чтобы: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB = 180°.

Для решения задачи выполним следующие общие шаги:

1. Начертим окружность с центром в точке $O$ с помощью циркуля.
2. Отметим на окружности произвольную точку $A$.
3. Проведем отрезок $OA$, который является радиусом окружности.

Далее, для каждого случая, построим хорду $AB$, отложив от радиуса $OA$ соответствующий центральный угол $\angle AOB$. Для построения углов можно использовать транспортир или, в некоторых случаях, циркуль и линейку.

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 60^\circ$, необходимо построить центральный угол в $60^\circ$.

Построение с помощью транспортира:

1. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с центром окружности $O$, а нулевая отметка на шкале легла на луч $OA$.
2. Найдем на шкале транспортира отметку $60^\circ$ и поставим точку.
3. Проведем луч из точки $O$ через поставленную точку до пересечения с окружностью. Точку пересечения обозначим $B$.
4. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

Построение с помощью циркуля:

1. Не меняя раствора циркуля после построения окружности (т.е. оставив его равным радиусу), установим иглу циркуля в точку $A$.
2. Проведем дугу, которая пересечет окружность. Точку пересечения обозначим $B$.
3. Соединим точки $A$ и $B$.

В полученном треугольнике $\triangle AOB$ стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, а сторона $AB$ по построению равна радиусу. Следовательно, $\triangle AOB$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = 60^\circ$.

Ответ: Хорда $AB$ строится путем откладывания от радиуса $OA$ центрального угла $\angle AOB = 60^\circ$. Длина этой хорды равна радиусу окружности.

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 90^\circ$, необходимо построить прямой центральный угол.

Построение с помощью транспортира или угольника:

1. Приложим транспортир к лучу $OA$ с центром в точке $O$ и отложим угол $90^\circ$. Либо воспользуемся прямым углом чертежного угольника, совместив его вершину с точкой $O$ и одну из сторон с лучом $OA$.
2. Проведем второй луч из точки $O$ под прямым углом к лучу $OA$ до пересечения с окружностью. Точку пересечения обозначим $B$.
3. Соединим точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

В этом случае треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным ($ \angle AOB = 90^\circ $) и равнобедренным ($OA = OB$ как радиусы).

Ответ: Хорда $AB$ строится путем построения двух взаимно перпендикулярных радиусов $OA$ и $OB$. Угол $\angle AOB$ будет равен $90^\circ$.

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 120^\circ$, необходимо построить центральный угол в $120^\circ$.

Построение с помощью транспортира:

1. Приложим транспортир к лучу $OA$ с центром в точке $O$ и отложим угол $120^\circ$.
2. Проведем луч из точки $O$ через отметку $120^\circ$ до пересечения с окружностью. Точку пересечения обозначим $B$.
3. Соединим точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

Построение с помощью циркуля:

1. Построим точку $C$ на окружности так, чтобы $\angle AOC = 60^\circ$ (как в пункте а)).
2. Затем, используя луч $OC$ в качестве отправной точки, аналогично построим точку $B$ на окружности так, чтобы $\angle COB = 60^\circ$.
3. В результате угол $\angle AOB$ будет суммой углов $\angle AOC$ и $\angle COB$: $\angle AOB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
4. Соединим точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

Ответ: Хорда $AB$ строится путем откладывания от радиуса $OA$ центрального угла $\angle AOB = 120^\circ$.

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 180^\circ$, необходимо построить развернутый центральный угол.

1. Проведем прямую через отмеченную точку $A$ и центр окружности $O$.
2. Эта прямая пересечет окружность в двух точках: $A$ и диаметрально противоположной ей точке. Обозначим вторую точку пересечения как $B$.
3. Точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, следовательно, угол $\angle AOB$ является развернутым и равен $180^\circ$.
4. Отрезок $AB$ является искомой хордой.

Такая хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Это самая длинная из всех возможных хорд.

Ответ: Хорда $AB$ является диаметром окружности. Для ее построения следует провести прямую через точку $A$ и центр $O$ до второго пересечения с окружностью в точке $B$.

763 Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду AB, если: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 180°.

Во всех случаях мы рассматриваем треугольник $AOB$, где $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — точки на окружности. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R = 16$. Хорда $AB$ является третьей стороной этого треугольника.

а) Если $\angle AOB = 60°$.
В треугольнике $AOB$ стороны $OA$ и $OB$ равны 16. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны: $\angle OAB = \angle OBA$.
Сумма углов треугольника равна $180°$.
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$
Поскольку $\angle OAB = \angle OBA$ и $\angle AOB = 60°$, получаем:
$2 \cdot \angle OAB + 60° = 180°$
$2 \cdot \angle OAB = 120°$
$\angle OAB = 60°$
Так как все углы треугольника $AOB$ равны $60°$ ($\angle AOB = \angle OAB = \angle OBA = 60°$), он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны.
Следовательно, $AB = OA = OB = 16$.
Ответ: 16.

б) Если $\angle AOB = 90°$.
В этом случае треугольник $AOB$ является прямоугольным, так как угол при вершине $O$ прямой. Стороны $OA$ и $OB$ — это катеты, а хорда $AB$ — гипотенуза.
Применим теорему Пифагора: $AB^2 = OA^2 + OB^2$.
Подставляем известные значения:
$AB^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$
$AB = \sqrt{512}$
Для упрощения корня представим 512 как произведение: $512 = 256 \cdot 2$.
$AB = \sqrt{256 \cdot 2} = \sqrt{256} \cdot \sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.
Ответ: $16\sqrt{2}$.

в) Если $\angle AOB = 180°$.
Развернутый угол $\angle AOB = 180°$ означает, что точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой.
Хорда, которая проходит через центр окружности, является её диаметром.
Длина диаметра равна удвоенному радиусу: $D = 2R$.
$AB = 2 \cdot 16 = 32$.
Ответ: 32.

764 Хорды AB и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами A и B соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB = 112°.

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, где $O$ — центр окружности.

1. Стороны $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны: $OA = OB = OC = OD = R$.

2. По условию задачи, хорды $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

3. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов. Значит, центральные углы, опирающиеся на хорды $AB$ и $CD$, равны: $\angle AOB = \angle COD$.

Каждая хорда стягивает две дуги: меньшую и большую. Градусная мера меньшей дуги равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Так как $\angle AOB = \angle COD$, то и меньшие дуги, на которые они опираются, равны: ?$AB$ = ?$CD$.

Градусная мера всей окружности равна $360^\circ$. Тогда градусная мера большей дуги равна разности $360^\circ$ и градусной меры меньшей дуги.

Большая дуга $AB = 360^\circ$ - (меньшая дуга ?$AB$).

Большая дуга $CD = 360^\circ$ - (меньшая дуга ?$CD$).

Поскольку меньшие дуги равны, то и большие дуги также равны. Таким образом, две дуги с концами $A$ и $B$ соответственно равны двум дугам с концами $C$ и $D$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Из доказательства в пункте а) следует, что если хорды $AB$ и $CD$ равны, то равны и центральные углы, которые на них опираются: $\angle COD = \angle AOB$.

По условию, $\angle AOB = 112^\circ$. Следовательно, $\angle COD = 112^\circ$.

Хорда $CD$ делит окружность на две дуги.

1. Градусная мера меньшей дуги ?$CD$ равна величине центрального угла $\angle COD$, на который она опирается.
Меньшая дуга ?$CD = \angle COD = 112^\circ$.

2. Градусная мера большей дуги $CD$ находится как разность между полной окружностью ($360^\circ$) и меньшей дугой.
Большая дуга $CD = 360^\circ - 112^\circ = 248^\circ$.

Ответ: Дуги с концами $C$ и $D$ равны $112^\circ$ и $248^\circ$.