Номер 764, страница 204 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими - номер 764, страница 204.

Условие.

764 Хорды AB и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами A и B соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB = 112°.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, где $O$ — центр окружности.

1. Стороны $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны: $OA = OB = OC = OD = R$.

2. По условию задачи, хорды $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

3. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов. Значит, центральные углы, опирающиеся на хорды $AB$ и $CD$, равны: $\angle AOB = \angle COD$.

Каждая хорда стягивает две дуги: меньшую и большую. Градусная мера меньшей дуги равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Так как $\angle AOB = \angle COD$, то и меньшие дуги, на которые они опираются, равны: ?$AB$ = ?$CD$.

Градусная мера всей окружности равна $360^\circ$. Тогда градусная мера большей дуги равна разности $360^\circ$ и градусной меры меньшей дуги.

Большая дуга $AB = 360^\circ$ - (меньшая дуга ?$AB$).

Большая дуга $CD = 360^\circ$ - (меньшая дуга ?$CD$).

Поскольку меньшие дуги равны, то и большие дуги также равны. Таким образом, две дуги с концами $A$ и $B$ соответственно равны двум дугам с концами $C$ и $D$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Из доказательства в пункте а) следует, что если хорды $AB$ и $CD$ равны, то равны и центральные углы, которые на них опираются: $\angle COD = \angle AOB$.

По условию, $\angle AOB = 112^\circ$. Следовательно, $\angle COD = 112^\circ$.

Хорда $CD$ делит окружность на две дуги.

1. Градусная мера меньшей дуги ?$CD$ равна величине центрального угла $\angle COD$, на который она опирается.
Меньшая дуга ?$CD = \angle COD = 112^\circ$.

2. Градусная мера большей дуги $CD$ находится как разность между полной окружностью ($360^\circ$) и меньшей дугой.
Большая дуга $CD = 360^\circ - 112^\circ = 248^\circ$.

Ответ: Дуги с концами $C$ и $D$ равны $112^\circ$ и $248^\circ$.