Номер 803, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 803, страница 211.

Условие.

803 На хорде AB окружности с центром O выбрана произвольная точка C. Через точки A, O и C проходит окружность, которая пересекает данную окружность в точке D. Докажите, что треугольник BCD равнобедренный.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть дана окружность $\omega_1$ с центром в точке $O$. На этой окружности лежат точки $A$, $B$ и $D$. Хорда $AB$ содержит точку $C$.Вторая окружность, назовем ее $\omega_2$, проходит через точки $A$, $O$, $C$ и $D$.Для того чтобы доказать, что треугольник $BCD$ является равнобедренным, мы докажем равенство двух его сторон, например, $BC = CD$. Равенство этих сторон равносильно равенству противолежащих им углов: $\angle CBD = \angle CDB$.

Рассмотрим углы, связанные с нашими окружностями.

1. В окружности $\omega_2$ точки $A$, $O$, $C$, $D$ лежат на одной дуге. Углы $\angle OAC$ и $\angle ODC$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $OC$. Следовательно, они равны:
$\angle ODC = \angle OAC$.

2. В окружности $\omega_1$ отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами, поэтому $OA = OB$. Это означает, что треугольник $OAB$ равнобедренный, и углы при его основании равны:
$\angle OAB = \angle OBA$.

3. Объединим результаты. Поскольку точка $C$ лежит на хорде $AB$, углы $\angle OAC$ и $\angle OAB$ — это один и тот же угол. Точно так же, $\angle OBA$ и $\angle OBC$ — это один и тот же угол.
Из пунктов 1 и 2 следует:
$\angle ODC = \angle OAC = \angle OAB = \angle OBA$.
Таким образом, мы установили важное равенство: $\angle ODC = \angle OBA$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $OBD$ в окружности $\omega_1$. Отрезки $OB$ и $OD$ являются радиусами $\omega_1$, поэтому $OB = OD$. Следовательно, треугольник $OBD$ также является равнобедренным, и углы при его основании равны:
$\angle OBD = \angle ODB$.

5. Теперь мы готовы сравнить углы $\angle CBD$ и $\angle CDB$.
Угол $\angle CBD$ — это угол при вершине $B$ в треугольнике $BCD$. Так как $C$ лежит на прямой $AB$, этот угол совпадает с углом $\angle ABD$. Угол $\angle ABD$ можно выразить как разность (или сумму) углов $\angle OBD$ и $\angle OBA$. Вне зависимости от расположения точек, величина угла $\angle ABD$ равна $|\angle OBD - \angle OBA|$.
$\angle CBD = \angle ABD = |\angle OBD - \angle OBA|$.

Угол $\angle CDB$ — это угол при вершине $D$ в треугольнике $BCD$. Его величину можно выразить как разность (или сумму) углов $\angle ODB$ и $\angle ODC$:
$\angle CDB = |\angle ODB - \angle ODC|$.

6. Сравним полученные выражения для углов. Из пункта 4 мы знаем, что $\angle OBD = \angle ODB$. Из пункта 3 мы знаем, что $\angle OBA = \angle ODC$.
Подставим эти равенства в выражения для $\angle CBD$ и $\angle CDB$:
$\angle CBD = |\angle OBD - \angle OBA|$
$\angle CDB = |\angle ODB - \angle ODC| = |\angle OBD - \angle OBA|$
Отсюда следует, что $\angle CBD = \angle CDB$.

7. В треугольнике $BCD$ углы при вершинах $B$ и $D$ равны. Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $BC = CD$.
Следовательно, треугольник $BCD$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ:
Доказано, что в треугольнике $BCD$ углы $\angle CBD$ и $\angle CDB$ равны, так как оба они равны $|\angle OBD - \angle OBA|$, где $\angle OBD = \angle ODB$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $OBD$) и $\angle OBA = \angle ODC$ (через равенство вписанных углов в вспомогательной окружности и равнобедренный треугольник $OAB$). Из равенства углов $\angle CBD = \angle CDB$ следует равенство сторон $BC = CD$, поэтому треугольник $BCD$ является равнобедренным.