Номер 804, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 804, страница 211.

804 Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанной окружности и определением прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со смежными сторонами $a$ и $b$. По условию, в этот прямоугольник можно вписать окружность. Это означает, что окружность касается всех четырех сторон прямоугольника. Обозначим диаметр этой окружности как $d$.

Рассмотрим первую пару противоположных сторон прямоугольника. Пусть их длина равна $a$. Расстояние между этими двумя параллельными сторонами равно длине смежной стороны, то есть $b$. Поскольку вписанная окружность касается этих двух сторон, расстояние между ними должно быть равно диаметру этой окружности. Таким образом, получаем первое равенство: $b = d$.

Теперь рассмотрим вторую пару противоположных сторон. Их длина равна $b$. Расстояние между этими параллельными сторонами равно длине смежной стороны, то есть $a$. Так как окружность касается и этих сторон, расстояние между ними также должно быть равно диаметру окружности. Таким образом, получаем второе равенство: $a = d$.

Из полученных равенств $b = d$ и $a = d$ следует, что $a = b$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Альтернативное доказательство:

Воспользуемся теоремой о вписанной в четырехугольник окружности (теоремой Пито). Она гласит, что в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Прямоугольник является выпуклым четырехугольником. Пусть его стороны равны $a, b, a, b$.

Согласно теореме, для того чтобы в него можно было вписать окружность, должно выполняться условие:$a + a = b + b$

$2a = 2b$

$a = b$

Это означает, что смежные стороны прямоугольника равны, а такой прямоугольник по определению является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано.