Номер 800, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 800, страница 210.

800 Точки A, B, C и D лежат на окружности. Докажите, что если ◡AB = ◡CD, то AB = CD.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точки $A, B, C$ и $D$ по условию лежат на этой окружности.

По условию задачи, дуга $AB$ равна дуге $CD$, что записывается как $\cup AB = \cup CD$. Требуется доказать, что хорда $AB$ равна хорде $CD$.

Для доказательства рассмотрим два треугольника, которые образованы радиусами, проведенными к концам хорд $AB$ и $CD$: это треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Стороны $OA, OB$ в $\triangle AOB$ и стороны $OC, OD$ в $\triangle COD$ являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, все они равны: $OA = OB = OC = OD = R$.

2. Угол $\angle AOB$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $\cup AB$. Его величина равна градусной мере этой дуги. Аналогично, центральный угол $\angle COD$ опирается на дугу $\cup CD$, и его величина равна градусной мере дуги $\cup CD$.

Поскольку по условию дано, что $\cup AB = \cup CD$, то и центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны между собой: $\angle AOB = \angle COD$.

3. Теперь сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Мы имеем:
- $OA = OC$ (как радиусы);
- $OB = OD$ (как радиусы);
- $\angle AOB = \angle COD$ (потому что они опираются на равные дуги).

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle AOB$ соответствует стороне $CD$ в $\triangle COD$. Следовательно, их длины равны: $AB = CD$.

Ответ: Утверждение доказано. В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами.