Номер 816, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 816, страница 213.

816 В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$.

Из условия, что около трапеции можно описать окружность, следует, что трапеция является равнобедренной. Это свойство wynikaет из того, что сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника должна быть равна $180^\circ$, что для трапеции выполняется только если она равнобедренная. Обозначим длину боковой стороны как $c$.

Из условия, что в трапецию можно вписать окружность, следует, что суммы длин ее противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:$a + b = c + c = 2c$Отсюда мы можем выразить длину боковой стороны $c$ через основания $a$ и $b$:$c = \frac{a+b}{2}$

Для трапеции, в которую вписана окружность, ее высота $h$ равна диаметру этой окружности. Если радиус вписанной окружности равен $r$, то $h = 2r$. Наша задача — найти $h$.

Проведем в равнобедренной трапеции высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это боковая сторона $c$,
• один катет — это высота трапеции $h$,
• второй катет — это отрезок на большем основании, длина которого равна полуразности оснований: $\frac{|a-b|}{2}$.

По теореме Пифагора для этого треугольника:$h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = c^2$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $c$:$h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

Теперь выразим $h^2$:$h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$h^2 = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:$h^2 = \frac{((a+b) - (a-b))((a+b) + (a-b))}{4}$$h^2 = \frac{(a+b-a+b)(a+b+a-b)}{4}$$h^2 = \frac{(2b)(2a)}{4}$$h^2 = \frac{4ab}{4} = ab$

Отсюда находим высоту трапеции:$h = \sqrt{ab}$

Так как радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2}$, получаем:$r = \frac{\sqrt{ab}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{2}$.