Номер 818, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 818, страница 213.

818 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и точка M, не лежащая на этих прямых. Требуется построить окружность, которая проходит через точку M и касается обеих прямых. Решение задачи состоит из анализа, построения, доказательства и исследования.

Анализ

Пусть искомая окружность с центром в точке O и радиусом R построена.
1. Так как окружность касается двух параллельных прямых a и b, ее центр O должен быть равноудален от них. Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух параллельных прямых, — это прямая c, которая параллельна данным прямым и проходит посередине между ними.
2. Расстояние от центра O до каждой из прямых a и b равно радиусу R. Следовательно, расстояние между прямыми a и b равно диаметру окружности, то есть $2R$. Это означает, что радиус R искомой окружности является величиной постоянной и равен половине расстояния между прямыми a и b.
3. Так как окружность проходит через точку M, расстояние от ее центра O до точки M также должно быть равно радиусу R, то есть $OM = R$. ГМТ, удаленных от точки M на постоянное расстояние R, — это окружность с центром в точке M и радиусом R.
4. Из этого следует, что центр O искомой окружности должен принадлежать одновременно двум множествам: прямой c и окружности с центром M и радиусом R. Таким образом, центр O является точкой пересечения этих двух ГМТ.

Построение

1. Нахождение срединной линии c и радиуса R:
- Выбрать произвольную точку A на прямой a и построить к ней перпендикуляр до пересечения с прямой b в точке B.
- Найти середину K отрезка AB. Длина отрезка AK является радиусом искомой окружности: $R = |AK|$.
- Через точку K провести прямую c, параллельную прямой a (и b).
2. Нахождение центров $O_1$ и $O_2$:
- Из данной точки M, как из центра, построить окружность (или ее дугу) радиусом R.
- Точки пересечения этой окружности с прямой c обозначить как $O_1$ и $O_2$. Это и есть центры искомых окружностей.
3. Построение окружностей:
- Построить окружность с центром в $O_1$ и радиусом R.
- Если существует вторая точка пересечения $O_2$, построить окружность с центром в $O_2$ и радиусом R.

Доказательство

Рассмотрим одну из построенных окружностей, например, с центром $O_1$ и радиусом R. По построению, ее центр $O_1$ лежит на срединной прямой c, а радиус R равен половине расстояния между a и b. Следовательно, эта окружность касается прямых a и b. Также по построению, точка $O_1$ является точкой пересечения прямой c и окружности с центром M и радиусом R, поэтому расстояние $|MO_1| = R$. Это означает, что построенная окружность проходит через точку M. Таким образом, она удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогичное доказательство справедливо и для второй окружности с центром $O_2$ (если она существует).

Исследование

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения прямой c и окружности с центром M и радиусом R. Пусть h — расстояние от точки M до прямой c.
- Если $h < R$, прямая и окружность пересекаются в двух точках. Задача имеет два решения. Это условие выполняется, когда точка M расположена строго между прямыми a и b.
- Если $h = R$, прямая касается окружности в одной точке. Задача имеет одно решение. Это было бы возможно, если бы точка M лежала на одной из прямых a или b, что исключено условием задачи.
- Если $h > R$, общих точек нет. Задача не имеет решений. Это происходит, когда точка M находится вне полосы, ограниченной прямыми a и b.

Ответ:
Алгоритм построения искомой окружности (или окружностей) следующий:
1. Найти срединную линию c для данных параллельных прямых a и b.
2. Определить радиус R как половину расстояния между прямыми a и b.
3. Построить вспомогательную окружность с центром в данной точке M и радиусом R.
4. Найти точки пересечения (например, $O_1$ и $O_2$) срединной линии c и вспомогательной окружности. Эти точки являются центрами искомых окружностей.
5. Построить окружности с найденными центрами и радиусом R.
Задача имеет два решения, если точка M лежит между прямыми, и не имеет решений, если точка M лежит вне полосы, образованной этими прямыми.