Номер 821, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 821, страница 213.

Условие.

821 В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ являются серединами дуг AB, ВC, CD, DA. Докажите, что прямые A₁C₁ и B₁D₁ перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства перпендикулярности прямых $A_1C_1$ и $B_1D_1$ найдём угол между ними. Пусть эти прямые, являющиеся хордами данной окружности, пересекаются в точке $P$. Угол между двумя пересекающимися хордами в окружности равен полусумме угловых мер дуг, которые они высекают.

Угол $\angle A_1PB_1$ и вертикальный ему угол $\angle C_1PD_1$ опираются на дуги $A_1B_1$ и $C_1D_1$. Следовательно, величина угла между прямыми $A_1C_1$ и $B_1D_1$ вычисляется по формуле: $\angle A_1PB_1 = \frac{1}{2}(\smile A_1B_1 + \smile C_1D_1)$, где символ $\smile$ обозначает угловую меру дуги.

По условию задачи, точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются серединами дуг $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Это означает, что:

$\smile A_1B = \frac{1}{2}\smile AB$

$\smile B_1C = \frac{1}{2}\smile BC$

$\smile C_1D = \frac{1}{2}\smile CD$

$\smile D_1A = \frac{1}{2}\smile DA$

Теперь выразим дуги $A_1B_1$ и $C_1D_1$ через дуги исходного четырехугольника. Дуга $A_1B_1$ состоит из дуг $A_1B$ и $BB_1$, а дуга $C_1D_1$ состоит из дуг $C_1D$ и $DD_1$. Так как $A_1$ и $B_1$ - середины дуг $AB$ и $BC$, то $\smile A_1B = \frac{1}{2}\smile AB$ и $\smile BB_1 = \frac{1}{2}\smile BC$. Аналогично для других точек.

$\smile A_1B_1 = \smile A_1B + \smile BB_1 = \frac{1}{2}\smile AB + \frac{1}{2}\smile BC = \frac{1}{2}(\smile AB + \smile BC)$

$\smile C_1D_1 = \smile C_1D + \smile DD_1 = \frac{1}{2}\smile CD + \frac{1}{2}\smile DA = \frac{1}{2}(\smile CD + \smile DA)$

Подставим эти выражения в формулу для угла $\angle A_1PB_1$:

$\angle A_1PB_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}(\smile AB + \smile BC) + \frac{1}{2}(\smile CD + \smile DA) \right)$

$\angle A_1PB_1 = \frac{1}{4}(\smile AB + \smile BC + \smile CD + \smile DA)$

Сумма дуг $\smile AB, \smile BC, \smile CD, \smile DA$ составляет полную окружность, так как $ABCD$ — вписанный четырехугольник. Угловая мера полной окружности равна $360^\circ$.

$\smile AB + \smile BC + \smile CD + \smile DA = 360^\circ$

Таким образом, угол между прямыми $A_1C_1$ и $B_1D_1$ равен:

$\angle A_1PB_1 = \frac{1}{4} \times 360^\circ = 90^\circ$

Поскольку угол между прямыми $A_1C_1$ и $B_1D_1$ равен $90^\circ$, эти прямые перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $A_1C_1$ и $B_1D_1$ перпендикулярны.