Номер 826, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 826, страница 214.

826 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Для доказательства того, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно составить паркет (замостить плоскость без зазоров и перекрытий), мы используем конструктивный метод. Мы покажем, как из двух таких плиток можно составить фигуру, которая гарантированно замостит плоскость.

Шаг 1: Создание шестиугольника из двух четырёхугольников

Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Для определённости будем считать, что вершины перечислены против часовой стрелки.

Теперь возьмём вторую, точно такую же плитку, и выполним её поворот на $180^\circ$ вокруг середины одной из её сторон, например, стороны $CD$. Обозначим середину стороны $CD$ как точку $M$.

При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $M$ исходный четырёхугольник $ABCD$ перейдёт в новый, конгруэнтный ему четырёхугольник $A'B'DC$. При этом:

• Вершина $C$ перейдёт в вершину $D$.
• Вершина $D$ перейдёт в вершину $C$.
• Вершина $A$ перейдёт в некоторую новую точку $A'$.
• Вершина $B$ перейдёт в некоторую новую точку $B'$.

Теперь совместИм исходный четырёхугольник $ABCD$ и повернутый $A'B'DC$ по их общей стороне (сторона $CD$ первого совпадает со стороной $DC$ второго). В результате объединения этих двух плиток образуется новая фигура — шестиугольник. Проследим его контур по вершинам: $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow B' \rightarrow A' \rightarrow D \rightarrow A$. Таким образом, мы получили шестиугольник $ABCB'A'D$.

Шаг 2: Свойства полученного шестиугольника

Докажем, что у шестиугольника $ABCB'A'D$ противоположные стороны попарно параллельны и равны по длине. Такие шестиугольники называются центрально-симметричными.

• Стороны $AB$ и $A'B'$: Сторона $A'B'$ является образом стороны $AB$ при повороте на $180^\circ$ вокруг точки $M$. Любой отрезок, полученный в результате поворота на $180^\circ$, параллелен исходному отрезку и равен ему по длине. Следовательно, сторона $AB$ параллельна и равна стороне $A'B'$.
• Стороны $BC$ и $A'D$: Сторона $A'D$ в повернутом четырёхугольнике $A'B'DC$ соответствует стороне $BC$ в исходном четырёхугольнике $ABCD$. Это следует из того, что вершины $A',D$ являются образами вершин $A,C$ при повороте, но присоединены в ином порядке. По свойству поворота, сторона $BC$ будет параллельна и равна стороне $A'D$.
• Стороны $CB'$ и $DA$: Аналогично, сторона $CB'$ в повернутом четырёхугольнике соответствует стороне $DA$ в исходном. Таким образом, сторона $CB'$ параллельна и равна стороне $DA$.

Мы установили, что полученный шестиугольник имеет попарно параллельные и равные противоположные стороны. Известный факт геометрии гласит, что любая такая фигура (центрально-симметричный шестиугольник) может замостить плоскость путём параллельных переносов. Копии этого шестиугольника можно прикладывать друг к другу вдоль соответствующих равных сторон, полностью покрывая плоскость без зазоров и наложений.

Шаг 3: Вывод

Поскольку мы можем полностью замостить плоскость шестиугольниками $ABCB'A'D$, а каждый такой шестиугольник состоит из двух исходных четырёхугольных плиток, то отсюда следует, что мы можем замостить плоскость и самими плитками в форме произвольного выпуклого четырёхугольника.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказательство, основанное на построении центрально-симметричного шестиугольника из двух копий исходного четырёхугольника, показывает, что любой выпуклый четырёхугольник может быть использован для создания паркета, полностью покрывающего любую часть плоскости. Утверждение задачи верно.